SEMAN 13 13024

SEM 08

SEMANA 13

ESTADISTICA Y PROBABILLIDADE

ING. OSCAR EDUARDO ROJAS FARRO

FIMAAS

SUMARIO

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
1. DISTRIBUCIÓN BERNOULLI
2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
3. DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
4. DISTRIBUCIÓN POISSON
5. TEOREMA DE APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A POISSON

1. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Experimento de Bernoulli:
Solo son posibles dos resultados: éxitoo fracaso.
Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que:
ÉXITO
1
FRACASO  0
Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso q = 1 - p,
podemos construir una función de probabilidad:
x 1 x

P( X  x)  p q

x 0,1

Evidentemente:
1

 P( X x) P( X 0)  P( X 1)  p  q 1
x 0

Ejercicio: Calcular la esperanza y varianza de la distribución de Bernoulli.
1

E[ X ]   x P( X x) 
x 0

0 P ( X 0)  1 P ( X 1)  p
E  X    P
1

Var ( X )  E[ X 2 ]  ( E[ X ]) 2   x 2 P ( X  x)  p 2
x 0

 0 P ( X 0) 1 
P( X
2

2


1) p

p  p 2  p (1  p )  pq
 Var ( X )  pq

2



2. DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL DE
PROBABILIDAD

Definición


La distribución binomial de probabilidad es
una distribución discreta de probabilidad que
tiene muchas aplicaciones. Serelaciona con
una experimento de etapas múltiples que
llamamos binomial.

Experimento Binomial
(Propiedades)







El experimento consiste en una sucesión de n
intentos o ensayos idénticos.
En cada intento o ensayo son posibles dos
resultados. A uno lo llamaremos éxito y al otro
fracaso.
La probabilidad de un éxito, se representa por p y
no cambia de un intento o ensayo. Por lo tanto laprobabilidad de un fracaso se representa por (1-p),
que tampoco cambia de un intento a otro.
Los intentos o ensayos son independientes.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

P1

P2

P4

q1

P3

q4

q2

q3

P1= P2 = P3 = ……
q1= q2 = q3 = ……

Donde:
P= Probabilidad de un caso favorable
q= Probabilidad de un caso NO favorable

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Luego tenemos:

 n
B ( n, p )  P ( X  x )    p x q n  x
x
Donde:
x=0,1,2,3,……n
x es la incógnita
Esta formula servirá para encontrar la probabilidad de X
o sea P(x) para que ocurran exactamente “X” casos
favorables y (n-x) casos no favorables.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL

 0; x  0


F ( x)  

 n
x n x
P
(
x
)

P
  x q , x  1, 2,3...n
 
 


MEDIA
  E ( x )  np
Varianza ( 2 )

 2  np (1  p )


2

 npq

PROBLEMA
Se lanzaun dado 10 veces calcular la probabilidad de
obtener 4 veces el 6
SOLUCIÓN

n  10  x  4
x( )  Veces que aparece el 6 en los 10 lanzamientos
El caso favorable esta dado por la probabilidad que salga el
“6” en un lanzamiento de un dado, o sea:

p  16  q  1  16 

5
6

SOLUCIÓN
Además sabemos que:
 n
P ( X  4)    p x q n  x
 x

Reemplazando:

 10
1 ) 4 ( 5 )10  4
P ( X  4)  (
6
6

4


P ( X  4) 

10!
4!(10  4)!

( 1 6) 4 ( 5 6)6

P ( X  4)  0.00217
0.0543

Determinando:

  np    10.( 16 )  106
 2  10.( 16 ).( 65 )  50
36

PROBLEMA
Determinar la probabilidad de obtener sello cuando se
lanza una moneda 3 veces.
SOLUCIÓN
Sea X  V . A de obtener como éxito el sello
Los valores que puedan tomar serán: 0,1,2,3
Luego: p 

1

2

n3

Sabemos que:
 n
P (x / p, q )    p x q n  x
 x

Para x=0

No se obtuvo sello

 3
P ( x  0)   ( 12 ) 0 (1  12 ) 30 
 0
P ( x  0) 

3!
0!(3 0)!

( 12 ) 0 ( 12 ) 3

1
8

Para x=1 Se obtuvo un sello
 3
P ( x  1)   ( 12 )1 (1  12 ) 31 
 1
P ( x  1) 

3
8

3!
1!(31)!

( 12 )1 ( 12 ) 2

Para x=2 Se obtuvo dos sellos
 3
P ( x  2)   ( 12 ) 2 (1  12 ) 3 2 
 2
P ( x  21) 

Parax=3

3!
2!(3 2)!

( 12 ) 2 ( 12 )1

3
8

Se obtuvo tres sellos

 3
P ( x  3)   ( 12 )3 (1  12 ) 33 
 3
P ( x  3) 

1
8

3!
3!(33)!

( 12 ) 3 ( 12 ) 0

PROBLEMA
Supongamos que 10 aparatos de radar están operando
independientemente uno del otro y que la probabilidad de
que solo uno de los aparatos detecte un cohete enemigo
es de 0.80 ¿Cuál es la probabilidad de que nueve
aparatos...