Semantica

Semántica y teoría de conjuntos

La correspondencia entre paradojas semánticas (producidas por la asignación de valores de verdad) y las paradojas de la teoría de conjuntos resulta de que todo enunciado al que se asignen valores de verdad puede reconvertirse en un enunciado acerca de conjuntos, y recíprocamente. Por ejemplo, la frase «Todas las manzanas son rojas» puede transcribirse en «elconjunto de todas las manzanas es subconjunto del conjunto de todas las cosas rojas», que a su vez podemos reformular en lenguaje de valores de verdad, dando el enunciado semántico: «Si es verdad que x es una manzana, entonces es verdad que x es roja».
Fijémonos en la declaración de la paradoja del mentiroso: «Este enunciado es falso». Podemos traducirlo así al lenguaje conjuntista: «Estaaserción es elemento del conjunto de todas las aserciones falsas». Si este enunciado pertenece realmente al conjunto de todas las aserciones falsas, entonces lo que declara es verdadero, y, por tanto, no puede pertenecer al conjunto de los enunciados falsos. Y si el enunciado no pertenece al conjunto de los enunciados falsos entonces declara algo falso, y por tanto sí debe pertenecer al conjunto deenunciados falsos. Cada paradoja semántica tiene su homologa en teoría de conjuntos, y cada paradoja conjuntista, su correspondiente versión semántica.



















Metalenguajes

La noción de metalenguaje fue ideada y desarrollada por el matemático polaco Alfred Tarski. En el peldaño más bajo se encuentran los enunciados relativos a objetos, tales como «Martetiene dos lunas». En este lenguaje no pueden aparecer calificativos como verdadero o falso. Para hablar de la veracidad o falsedad de frases formuladas en este lenguaje tenemos que emplear un metalenguaje, situado en el peldaño inmediatamente superior de la escala. El metalenguaje engloba la totalidad del lenguaje objeto, pero es más «rico», porque permite referirse a los valores de verdad de losenunciados del lenguaje objeto. Por citar uno de los ejemplos favoritos de Tarski, «La nieve es blanca» es un enunciado del lenguaje objeto. En cambio, «El enunciado 'La nieve es blanca' es verdadero» es una proposición de un metalenguaje.
¿Puede hablarse de veracidad o falsedad de enunciados de un metalenguaje? Sí, pero sólo ascendiendo hasta el tercer peldaño de la escala, y hablando en unmetalenguaje aún más alto, capaz de aludir a todos los situados bajo él.
Cada peldaño de la escala es un lenguaje objeto del peldaño situado inmediatamente sobre él. Cada peldaño, a excepción del más bajo, es metalenguaje del inmediatamente inferior. La escala continúa hacia arriba tanto cuanto deseemos.
Ejemplos de enunciados correspondientes a los cuatro primeros peldaños son:
A. Lasuma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360 grados.
B. El enunciado A es verdadero.
C. El enunciado B es verdadero.
D. El enunciado C es verdadero.
El lenguaje de nivel A enuncia sencillamente teoremas relativos a objetos geométricos. Un manual de geometría que contenga demostraciones de los teoremas está escrito en un metalenguaje de nivel B.
Los libros que tratande teoría de demostración, están escritos en metalenguaje de nivel C. Afortunadamente, en matemáticas, raras veces es necesario ir más allá del nivel C.
En un artículo de Lewis Carroll, «What the Tortoise Said to Achules», se discute con mucha gracia el carácter teóricamente infinito de la escala de metalenguajes. Puede verse una reimpresión de este artículo en The Magic of Lewis Carroll, porJohn Fisher, y también en Gódel, Escher, Bach, por Douglas Hof-stadter.



Las paradojas semánticas se resuelven introduciendo metalenguajes. Los enunciados relativos al mundo, tales como «las manzanas son rojas» o «las manzanas son azules», se formulan en un lenguaje objeto. Los enunciados relativos a valores de verdad tienen que hacerse en un metalenguaje....