semejanza

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Semejanza
SEMEJANZA

FIGURAS
SEMEJANTES

RAZÓN
DE SEMEJANZA

CONSTRUCCIÓN
DE FIGURAS
SEMEJANTES

TEOREMA DE TALES

CRITERIOS DE SEMEJANZA
DE TRIÁNGULOS

PRIMER CRITERIO
$
$' $ $'
A = A ; B= B

SEGUNDO CRITERIO
a
b
c
=
=
a'
b'
c'

TERCER CRITERIO
$
$'
A =A;

b
c
=
b'
c'

SEMEJANZA EN
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

TEOREMA
DEL CATETO

TEOREMA
DE LAALTURA

SEMEJANZA EN ÁREAS
Y VOLÚMENES

186

CÁLCULO
DE DISTANCIAS

Enigmas
Fue un cortejo en toda regla: el primer encuentro sorprendió, la segunda vez
el interés creció hasta límites insospechados, y a partir ahí esperábamos
cada misiva con la impaciencia de un amante, pues realmente nos conquistó.
Así explicaba Roberval la relación de Pierre de Fermat
con el grupo de Mersenne.Mientras paseaban por el claustro del monasterio,
Roberval y el padre Mersenne charlaban animadamente
acerca de Pierre de Fermat.
–Al principio, cuando leímos los problemas que
proponía en su carta, pensamos que era un pobre
loco –recordaba riendo Roberval–. Sin embargo,
al resolverlos nos dimos cuenta de que las respuestas
a sus preguntas abrían nuevos caminos en el
mundo de lasMatemáticas.
–Las Parábolas de Nuestro Señor nos enseñan
que unas historias corrientes pueden encerrar
la esencia de la doctrina cristiana; con sus
preguntas, Fermat nos ha dado una lección
parecida: la pregunta adecuada abre caminos
alternativos en la senda del conocimiento.
La campana, llamando a la oración, y un amistoso
apretón de manos pusieron término a la visita.
El último enigma de Fermattardó en resolverse
tres siglos, y dice que la ecuación xn + yn = zn
no tiene soluciones enteras para ningún exponente
mayor que 2. Escribe la ecuación y encuentra
una solución para n = 2.
Si n = 2, tenemos que:
xn + yn = zn → x2 + y2 = z2

Así, para cualquier terna pitagórica se cumplirá
esta ecuación.
Por ejemplo:

x = 4

y = 3 → 42 + 3 2 = 5 2


z = 5



SemejanzaEJERCICIOS
001

Razona si son semejantes los dos rectángulos de la figura.

En caso afirmativo, averigua cuál es la razón de semejanza.
Son semejantes, ya que tienen los ángulos iguales y los lados
son proporcionales. La razón de semejanza es 2.

002

Ana ha dibujado dos cuadrados cuyos lados miden 1 y 3 cm, respectivamente.
¿Son semejantes? Calcula su razón de semejanza.
Todos loscuadrados son semejantes y, en este caso,
la razón de semejanza es 3.

003

Dibuja dos figuras semejantes a una circunferencia de 1 cm de radio,
1
con razones de semejanza 3 y .
2

004

3 cm

1 cm

0,5 cm

Calca esta figura y construye dos figuras semejantes a ella con razones 3 y 0,5.

G
A

F

D
B

C

E
G'
A'

F'
D'
B'

188

C'

E'

SOLUCIONARIO

6G'
A'

F'
D'
C'

B'

G

E'

A
F
D

B

005

E

C

Completa la figura semejante.
C'

D'

C
D

B'
B

O

E'

E
A

A'

006

Dibuja un rectángulo semejante a otro, con razón 2, si el punto O es uno
de sus vértices.
C'

C

D

007

B'

B

A'

A

Calcula las distancias desconocidas.
2,25
x
→ x = 3,375 cm
=
2
3
)
2, 25
5, 25
→ t =4,6 cm
=
t
2

t
2 cm
F

z
2,25 cm

6,5
z
→ z = 2,79 cm
=
5,25
2,25

3 cm

x

5,25 cm

y
6,5 c
m

6,5
6,5
y
y
→ y = 4,18 cm
→
=
=
5,25
5,25
3,375
x

189

Semejanza
008

Halla las distancias que faltan.

cm
2,4

2,4
x
→ x = 4,8 cm
=
3
6
)
3,5
y
→ y = 2,3 cm
=
9
6

009

y
6 cm

3 cm

Utiliza el teorema de Tales para dividir unsegmento de 4 cm en tres partes
iguales.

B

A

Comprueba si los siguientes triángulos son semejantes o no.
12
m

m
20

14

m

27 m

m

m

21

18

14

m

010

3,5 cm

x

18 m

20 m

Utilizando el segundo criterio de semejanza, se comprueba que son
semejantes los triángulos primero y tercero, y su razón de semejanza
18
21
27
es: r = ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ =...