Semejanza

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Objetivos

Semejanza. Teorema de Pitágoras.

Antes de empezar 1.Teorema de Tales..…………………………pág. 118 Enunciado y posición de Tales Aplicaciones 2.Semejanza de figuras....................pág.120 Figuras semejantes Semejanza de triángulos Relación entre longitudes Relación entre áreas 3.Ampliación y reducción de figuras..pág. 124 Ampliación, reducción y escala 4.Teorema dePitágoras……………………pág. 126 Enunciado Aplicaciones Ejercicios para practicar Para saber más Resumen Autoevaluación Actividades para enviar al tutor

En esta quincena aprenderás a:

• Aplicar correctamente el
Teorema de Tales. semejantes.

• Reconocer y dibujar figuras • Aplicar los criterios de

semejanza de triángulos.

• Calcular la razón de semejanza. • Utilizar la relación entre las
áreas de figuras semejantes. planos.escala.

• Calcular distancias en mapas y • Construir figuras a partir de una • Resolver problemas geométricos
aplicando el Teorema de Pitágoras.

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Antes de empezar
Aplicando la semejanza aprenderás, entre otras cosas, a medir alturas de edificios con un espejo sin necesidad de subirte a ellos.También puedes hacerlo utilizando sus sombras...

Investiga
En una pizzería, la pizza pequeña tiene 23 cm de diámetro y es para una persona. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de diámetro, justo el doble que la pequeña, pero dicen que es para 4 personas. ¿Nos están engañando?

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1. Teorema de Tales
Enunciado y posición deTales

Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes r y s, los segmentos que determinan dichas paralelas en la recta r son proporcionales a los segmentos que determinan en s.
Tales de Mileto fue un filósofo y matemático griego que vivió en el siglo VI a. C. Calculó las alturas de las pirámides de Egipto comparando sus sombras con las de un bastón

Los triángulos ABC y AB'C'comparten el ángulo A, están encajados. Los lados opuestos al ángulo A son paralelos. En estos casos decimos que los dos triángulos están en posición de Tales: Cuando dos triángulos se pueden colocar en posición de Tales, sus lados son proporcionales:

Dos pares de segmentos son proporcionales si la razón entre los dos primeros (cociente entre sus longitudes) coincide con la razón entre los dos últimos.Aplicaciones
El Teorema de Tales nos permite dividir un segmento en partes iguales (cinco en este caso):

Un segmento, de longitud x, es cuarto proporcional a otros tres de longitudes a, b y c si se verifica que:
Trazamos una semirrecta a partir de A. Sobre ella marcamos, con el compás, 5 segmentos iguales, de la longitud que queramos. Unimos la última marca con B y trazamos paralelas, unapor cada marca de la semirrecta.

a c = b x

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EJERCICIOS resueltos
1. Usa el teorema de Tales para calcular x.
Los dos triángulos están en posición de Tales, por lo que sus lados son proporcionales:

5 3,9 = ; 5 ⋅ x = 3,4 ⋅ 3,9 ; 3,4 x

x=

3,4 ⋅ 3,9 ; 5

x = 2,6 2. Calcula el valor de x.

Los dos triángulos tambiénestán en posición de Tales. Sus lados son proporcionales:

x 4,5 + 2,4 4,7 ⋅ 6,9 = ; 4,5 ⋅ x = 4,7 ⋅ (4,5 + 2,4) ; x = ; 4,7 4,5 4,5
x = 7,2

3.

Divide el segmento en 7 partes iguales.

Se traza una semirrecta a partir de uno de los extremos del segmento. Se marcan en ella, con el compás, 7 segmentos iguales, de la longitud que se quiera. Se unen la última marca y el otro extremo delsegmento.

Trazamos paralelas, una por cada marca, y el segmento queda dividido en 7 partes iguales.

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2. Semejanza de figuras
Figuras semejantes
Dos figuras son semejantes si sus segmentos correspondientes (homólogos) son proporcionales y sus ángulos iguales. Es decir; o son iguales, o tienen la misma forma y sólo...