semejanza

Proyecto FONDEF D05l-10211

¿JUSTICIA CIEGA?

(o Prueba de Semejanza resuelta con Geometría Analítica)
Los diez años de trabajo como profesora de matemática de Carolina Silva, no han hecho más que
confirmar lo bien que eligió su profesión. Desde niña le gustó la matemática y al enseñarla,
redescubre el placer y la sorpresa que ella misma experimentó y sigue sintiendo con este
“lenguaje dela naturaleza”. No deja de asombrarse al ver que siempre hay algo nuevo, algo en lo
que no había reparado, algo que aprender, incluso de los alumnos. Además, le gusta la energía y
la libertad de pensamiento de los jóvenes. Así, no resulta raro que sea reconocida por sus colegas
y alumnos como una buena profesora, en todo sentido.
En el colegio donde trabaja Carolina, las evaluaciones globaleso coeficiente dos se construyen en
cada departamento y así todos los alumnos de un mismo nivel rinden el mismo examen. En
cambio, las pruebas parciales son instrumentos de evaluación que cada profesor construye según
sus propias necesidades de monitoreo de los logros de aprendizaje de sus alumnos. Hace un par
de semanas Carolina enfrentó y resolvió un problema surgido con la calificación deuna de sus
pruebas parciales. Curiosamente le sigue molestando este caso, lo que le extraña, pues no es
nada tan extraordinario y ella se había sentido muy conforme y segura cuando tomó la decisión de
calificación definitiva y la comunicó a su curso.
Todo partió con la prueba que aplicó al Segundo Medio A para evaluar la Unidad de Semejanza.
Este es un buen curso y Carolina preparó su pruebacuidadosamente, como siempre. No fue grato
descubrir que la gran mayoría no contestó el ejercicio 5, pero son cosas que pasan. Unos pocos
intentaron hacer algo sin terminarlo y sólo dos alumnos lo resolvieron correctamente. Pero uno de
ellos, Antonio, lo hizo empleando los contenidos de la Unidad de Semejanza, y el otro, Pablo, lo
hizo sin utilizar los contenidos de la Unidad de Semejanza, sinolos de Geometría Analítica, que se
habían tratado unos meses antes.

Ejercicio 5: Dado el cuadrado ABCD de lado k de la figura adjunta, donde M es punto de
intersección de DP y AQ , calcule el área del

DMQ en función de k. (Sugerencia: considere

RP // DC )

De los 20 alumnos que rindieron la prueba, 4 alumnos obtuvieron calificaciones inferiores a 4.0 y
del 80% restante, sólo 2alumnos obtuvieron nota 7. Como de costumbre, Carolina realizó la
corrección de la prueba en la pizarra para que sus alumnos los fueran comparando con sus
resultados. Para al ejercicio 5 escribió el desarrollo que ella había hecho al incorporar esta
pregunta en la prueba y que por tanto, esperaba que sus alumnos también realizaran:
Solución:
a)

Si PR // DC , entonces

b)

Luego: TP =ART ~

, entonces

ADQ

TPM ~

QDM

c)

El área del

DMQ es

A continuación Carolina invitó a Antonio a la pizarra, a presentar su desarrollo. Antonio es un
alumno destacado, con muy buenas calificaciones, muy metódico y ordenado, que siempre trata
de justificar cada uno de los pasos que realiza en un ejercicio, y que, por lo tanto, accedió con
gusto y genuino orgullo. Explicóque él hizo esencialmente lo mismo, pero que para economizar
escritura y confusiones, evitó k a lo largo del desarrollo o, equivalentemente, supuso que k = 1,
para reponerlo al final.
Solución de Antonio:
Supuesto: k = 1, entonces
,

Si PR // DC

TP =

,

ART ~

y

TPM ~

DQM

,

ADQ

∴ área

2
1
2 2
k⋅ k
k
base ⋅ altura
k2
3 = 9
DMQ es
= 3
=
2
2
2
9

Acontinuación, la profesora Carolina invitó a Pablo a presentar su solución en la pizarra. Pablo es
menos metódico y no siempre se explica con claridad, pero es rápido, creativo y expresivo en su
gusto por la matemática. Con ello se gana la simpatía que su conducta inquieta pone a prueba.
Pablo explicó que él intentó usar semejanzas, pero le pareció tedioso y probó con lo que habían
aprendido a...