Semejanza

Semejanza (geometría)

Es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas. Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a escalas distintas son semejantes, pues la forma de los continentes no cambia, pero si el tamaño
Una semejanza es la composición de una materia (una rotacióny una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.
Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.
En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya formapuede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).
Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.
En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A,B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.
Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:
Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes soncongruentes.
Ecuación
Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:

Corolarios
Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.
Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lotanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos. Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno.
En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y ABC son semejantes se escribe ABC ~ ABC, donde el ordenindica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente. Una similitud tiene la propiedad de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los ladoscorrespondientes son congruentes.
Propiedad reflexiva, refleja o idéntica
Todo triángulo es semejante a sí mismo.
Propiedad idéntica o simétrica
Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.
Propiedad transitiva
Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.
Estas tres propiedades implican que la relación desemejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos
Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.
H)
ABC; r || AC
r corta AB en L
r corta BC en M
T)
D)

Casos
Podrán presentarse 3 casos:
Primer caso
rcorta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.
Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):
por carácter reflejo
por ser correspondientes entre r || AC, secante AB
por ser correspondientes entre r || AC, secante BC
Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado...