semejanzas

DEFINICIÓN:
Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus lados homólogos proporcionales




Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “ misma forma”. Así, porejemplo;
(1) todos los cuadrados son semejantes entre sí
(2) todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí
(3) todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí
en general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son
semejantes entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también
que todas las circunferencias sonsemejantes entre si.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras







TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Los geómetras griegos de la antigüedad,notaron que para establecer la semejanza entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaban necesariamente la ocurrencia de los otros restantes.

* TEOREMA FUNDAMENTAL
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro
Corolario: Todaparalela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero
Si , entonces  CDE ~ CAB







Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogosproporcionales.


TEOREMA AA ( O CRITERIO AA DE SEMEJANZA)

Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes


Hipótesis: A   D y C  F
Tesis  ABC   DEF

Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente con un tercero, el primero y el tercero son semejantes.


TEOREMA LAL ( OCRITERIO LAL DE SEMEJANZA)

Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.


∆ ABC ~ ∆A’B’C’





TEOREMA LLL ( o criterio LLL de semejanza)

Si las medidas de los tres pares de lados de dostriángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.



∆ ABC ~ ∆A’B’C’



Nota: Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremas LAL y LLL

Nota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplentodas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos, proporcionales.

















Ejemplos:
(1) Si  C  F y AC = 120 cm
BC = 48 cm, DF = 50 cm y EF = 20 cm
¿Se cumple que  ABC  DEF? ¿Porqué?

Se sabe que:
 C  F . veamos si los lados que forman dichosángulos son proporcionales.


Por lo tanto, según criterio de semejanza LAL
Se cumple que:  ABC  DEF q.e.d.


(2) Se hizo una copia de un triángulo cuyos lados miden 20, 25 y 30 cm reducida al 80%. ¿Es el triángulo obtenido semejante al primero?

Sus medidas son el 80% de las medidas originales, luego, veamos si ambos trios son proporcionales.

y, por el criterio de semejanza LLL,...