Seminario 1_Soluciones

Problemas para el seminario 1

1. Texto, p. 108, No. 62

En la figura se muestra una circunferencia fija C1 con ecuación (x – 1)2 + y2 = 1 y un circunferencia C2 que se contrae, con radio r y centro en el origen. P es el punto (0, r), Q es el punto superior de intersección de las dos circunferencias y R es el punto de intersección de la recta PQ y el eje x. ¿Qué le sucede a R al contraerse C2,es decir, cuando r tiende hacia cero?

Solución:

La ecuación de C2 es x2 + y2 = r2. El punto Q de intersección de ambas circunferencias satisface la ecuación: (x – 1)2 – x2 = 1 – r2 que se obtiene al restar las ecuaciones. Desarrollando esta ecuación resulta:
x2 – 2x +1 – x 2 = 1 – r2

de donde: x = r2/2 (Abscisa de Q)

El valor de y se obtiene al remplazar en la ecuación deC2. Resulta:

r4/4 + y2 = r2

De aquí: y2 = r2 – r4/4 = r2(1 – r2/4)

(Ordenada de Q)

Por semejanza de triángulos:


Sustituyendo los valores de x e y obtenidos:



Se tiene:

de donde:

Asi que:

Para calcular el límite cuando r tiende hacia cero, se procede como es usual y se obtiene:


2. Texto, p. 130, No. 65

Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 A.M. yemprende su camino habitual hacia la cima de la montaña, adonde llega a las 7:00 P.M. La mañana siguiente inicia el regreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 A.M. y llega al monasterio a las 7:00 P.M. Mediante el teorema del valor intermedio, demuestre que existe un punto a lo largo de la ruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora en ambos días.

Solución:

Sea L la distanciadel monasterio a la cima. Sea x la distancia de un punto cualquiera de la ruta medida desde el monasterio, así que 0 ≤ x ≤ L. En el intervalo anterior, definamos las funciones:

tida(x) = Hora en que pasó por el punto x en el viaje de ida.
treg(x) = Hora en que pasó por el punto x en el viaje de regreso.

Ambas son funciones continuas en el intervalo 0 ≤ x ≤ L. Definamos ahora la función:

D(x)= tida(x) – treg(x)

que será también continua en el intervalo por ser diferencia de funciones continuas. Esta función toma valores:

D(0) = tida(0) – treg(0) = 7:00 – 19:00 = –12:00
D(L) = tida(L) – treg(L) = 19:00 – 7:00 =12:00

Como D es una función continua en un intervalo cerrado que pasa de – 12 a 12, tiene que tomar por lo menos en un punto x* el valor cero. Como D(x*) = 0

tida(x*) =treg (x*)

3. Texto, p. 142, No. 58

a) Un depósito contiene 5000 L de agua pura. Se bombea salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al depósito a razón de 25 L/min. Demuestre que la concentración de sal t minutos después (en gramos por litro) es



b) ¿Qué sucede con la concentración cuando el tiempo tiende a infinito?

Solución:

a)

Cantidad de solución en el instante t:5000 + 25 t

Cantidad de sal en el instante t: (30 g/L)(25 L/min)(t min) = 750 t

Concentración de la solución en el instante t:

=

b) = 30

es decir, la concentración en el tanque tiende hacia la concentracion de la salmuera que se esta bombeando.

4. Texto, p. 142, No. 51

Establezca si existe f ‘(0) si:

Solución:

=
El último limite no existe, así que la derivada f ‘(0) no existepara esta función.


Texto, p. 142, No. 52

Establezca si existe f ‘(0) si:

Solución:

= = 0, como consecuencia del teorema del emparedado, pues

y ambas funciones extremas poseen límite cero cuando h tiende hacia cero.

En este caso, la función es derivable y f ‘(0) = 0.
5. Texto, p. 142, No. 52

Recuerde que una función f se le denomina par si f(–x) = f(x) para todo x en su dominio eimpar si f(–x) = – f(x) para todo x en su dominio.
a) Demuestre que la derivada de una función par es una función impar.
b) Demuestre que la derivada de una función impar es una función par.

Solución:

a) Sea f par y derivable en todo su dominio. Entonces:

=


pues f es par. Tomando la variable: u = x – h se tiene x = u + h. Nótese que ambas variables u y x tienen el mismo límite cuando h...