Seminario

Capítulo 7: Análisis de Respuesta en Frecuencias

Capítulo 7. ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIAS.

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Sistemas de Control en Tiempo Discreto

7.1 INTRODUCCIÓN.
El concepto de respuesta en frecuencia juega un poderoso papel en los sistemas de control digital, de la misma forma que lo hace en los sistemas de control en tiempo continuo. Por respuesta en frecuencia, se entiende larespuesta en estado de régimen permanente de un sistema ante una entrada senoidal. A menudo han sido utilizados los métodos de respuesta en frecuencia en el diseño de compensadores. La razón básica es la sencillez de los métodos. Al llevar a cabo pruebas de respuesta en frecuencia sobre un sistema muestreado, es importante que el sistema continuo tenga un filtro de paso bajo (generalmente unmantenedor de orden cero) antes del muestreador, de tal manera que las bandas laterales estén filtradas. De esta forma dado un sistema lineal e invariante en el tiempo y dada una entrada senoidal, el sistema conserva la frecuencia y modifica solamente la amplitud y la fase de la señal de entrada. Por lo tanto, las dos únicas cantidades que deberán ser manejadas, serán la amplitud y la fase. Ahoraanalizaremos la respuesta a una entrada senoidal de un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo; ese análisis será confirmado mediante la definición de la función transferencia de pulso senoidal. A continuación estudiaremos el diseño en el plano w de un sistema de control en tiempo discreto mediante la utilización de un diagrama de Bode.

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Capítulo 7: Análisis de Respuesta enFrecuencias

7.2 RESPUESTA DE UN SISTEMA EN TIEMPO DISCRETO LINEAL E INVARIANTE EN EL TIEMPO A UNA ENTRADA SENOIDAL.
La respuesta en frecuencia de G ( z ) puede obtenerse sustituyendo z = e j ω T en G ( z ) , como se demuestra a continuación. [REF. 3]. Se considera un sistema estable en tiempo discreto lineal e invariante en el tiempo como se muestra en la siguiente figura:

La señal muestreada u( k T ) es u ( k T ) = s i n ( k ω T )

La transformada z de la entrada muestreada es:

> restart:

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> ztrans(sin(k*omega*T), k, z);
z sin( ω T ) 2 z − 2 z cos( ω T ) + 1

que también se puede expresar de la siguiente forma:

z ⋅ sin(ω ⋅ T ) (z − e
j⋅ω ⋅T

) ⋅ ( z − e − j⋅ω ⋅T )

teniendo en cuenta que e j⋅ω ⋅T = cos(ω ⋅ T ) + j⋅ sin(ω ⋅ T ) .

NOTA del autor: En general se obtiene que

(z − e

a +b⋅ j

)⋅ (z − e

a −b⋅ j

)= )( )

= z − e a ⋅ (cos(b) + j ⋅ sin(b) ) ⋅ z − e a ⋅ (cos(b) − j ⋅ sin(b) ) =

(

= z 2 − 2 ⋅ e a ⋅ cos(b) ⋅ z + e 2⋅a

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Capítulo 7: Análisis de Respuesta en Frecuencias

La respuesta del sistema está dada por

X ( z ) = G ( z )U ( z ) = G ( z ) ⋅

z ⋅ sin(ω ⋅ T )( z − e j⋅ω ⋅T ) ⋅ ( z − e − j⋅ω ⋅T )

=

a⋅z z −e
j⋅ω ⋅T

+

aa ⋅ z z − e − j⋅ω ⋅T

+ [términos debidos a los polos de G(z)]

siendo aa el complejo conjugado de a.

z − e j⋅ω ⋅T Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por obtenemos z

G( z) ⋅

aa ⋅ ( z − e j⋅ω ⋅T ) z − e j⋅ω ⋅T  términos debidos a  sin(ω ⋅ T ) =a+ +  los polos de G(z)  z z − e − j⋅ω ⋅T z − e − j⋅ω ⋅T 

Dado que el sistema considerado aquí es estable, G( z ) no contiene a z = e como polo, ya que e
j ωT

j ωT

está en la frontera del disco unidad (ver estabilidad). Por tanto,
j ωT

G( z ) no tiene en el denominador un término de la forma z - e

. Luego el segundo y
j ωT

tercer término del segundo miembro de esta ecuación se anulan en z = e tenemos

. Así

sin(ω ⋅ T )   a= G ( z ) z − e − j⋅ω ⋅T  z =e  

j ⋅ω ⋅T

G (e j⋅ω ⋅T ) = 2⋅ j

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El coeficiente aa, que es el complejo conjugado de a, se obtiene multiplicando por
z − e − j⋅ω ⋅T y sustituyendo z = e − j⋅ω ⋅T . z

G (e − j⋅ω ⋅T ) aa = − 2⋅ j

Escribiendo G (e j⋅ω ⋅T ) = M ⋅ e j⋅θ , con M = G (e j⋅ω ⋅T )

y θ = ángulo G (e j⋅ω ⋅T ) .

(...