Senos

LEY DE SENOS

Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas las técnicas para resolver triángulos generales.
A
C
B
α
β
γ
b
c
a

Este es un triángulo ABC el ángulo α se escribe en el vértice de A, el ángulo β se escribe en el vértice de B y el ángulo γ se escribe en el vértice de C.
Los lados que están opuestos al los vértices ABC y los escribimos con unaletra minúscula abc.

Este tipo de triángulos los podemos resolver utilizando la ley de senos o la ley de cosenos.

La fórmula para la ley de senos es:



El primer caso es de dos ángulos y un lado.
Determina las partes restantes del triángulo si , y b = 6.
B
C
A
c
b = 6
a
130°
20°
Procedimiento:ordena los datos del problema como se te indica a continuación.

130° a =13.44
20° b = 6
30° c = 8.77

1) La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo = 180°

escribe la respuesta en nuestro cuadro.

2) Observamos que tenemos los valores de y b por lo que las colocamos en nuestra fórmula y buscamos el lado a.

despejamos a

colocamos nuestra respuesta en el cuadro

3) Tomamos de nuevo los datos que tenemos seguros delproblema que son y b, porque pude haberme equivocado en la respuesta anterior y tener esta mala también.





Segundo caso: dos lados y un ángulo opuesto alguno de los lados.

En este caso pueden derivarse cuatro caso diferentes:

Supongamos que los lados c, b y el ángulo β se nos especifican, dibujamos el ángulo β y el lado c para localizar los vértices A y B, luego tomamosla medida de b con un compás lo cual corresponde al radio y lo trazamos desde el vértice A formando un arco. Aquí pueden surgir cuatro posibilidades:

A
B
c
b
β

NO EXISTE TRIANGULO

A
B
c
b
β
b
C2
C1

SE FORMAN 2 TRIANGULOS

A
B
c
β
b
C

SE FORMA UN SOLO TRIANGULO

C
A
B
c
b
β
C

SE FORMA UN TRIANGULO RECTANGULO

Ejemplo:a =
50° b = 5
c = 6
encuentra las partes restantes del triángulo



Primero: tomo β con b y c para hallar



En este momento razono si existe triángulo o no

“el seno existe si se encuentra entre 1 y -1”
1) mi resultado 0.9193 ¿es mayor que 1? no.

2) mi resultado 0.9193 ¿es menorque -1? no.

Entonces EXISTE TRIANGULO.

Si el resultado fuera mayor ó menor que 1 ó -1 entonces
NO EXISTE TRIANGULO y solamente escribo no existe triángulo.



En este momento razono si hay 1 ó 2 triángulos

1) Tomo el resultado del ángulo que me dio 66.82° y lo resto de 180°.

180° - 66.82° = 113.18°

2) Tomo los datos iniciales y los copio comoposible segundo triángulo

a =
50° b = 5
c = 6
a =
50° b = 5
c = 6
Primer triángulo Posible segundo triángulo

1) El primer resultado 66.82° lo escribo en el cuadro de datos del inicio del problema.

a =
50° b = 5
66.82° c = 6
a =
50° b = 5c = 6
Primer triángulo Posible segundo triángulo

2) Copio de nuevo el cuadro inicial de datos y escribo el segundo resultado 113.18°.

a =
50° b = 5
66.82° c = 6
a =
50° b = 5
113.18° c = 6
Primer triángulo Posible segundo triángulo

3) Recuerda que la suma de los ángulos internos de cualquier triánguloes 180°.

Ahora encontramos el valor de en el primer triángulo
coloca el resultado en el cuadro del
primer triángulo.

Ahora encontramos el valor de en el posible segundo triángulo

como el resultado es positivo y la sumatoria no
no es mayor de 180° entonces HAY DOS
TRIANGULOS

Primer triángulo Segundo...