Sensibilidad 2003 2
Páginas: 25 (6012 palabras)
Publicado: 9 de julio de 2015
Fundamentos de Investigaci´on de Operaciones
Investigaci´on de Operaciones 1
An´alisis de Sensibilidad
1 de agosto de 2003
1.
Introducci´
on
Cualquier modelo de una situaci´on es una simplificaci´on de la situaci´on real. Por lo tanto, existe
cierta incertidumbre en la determinaci´on de los valores de todos los par´ametros involucrados. Debido
a ello, es importante estudiar la variabilidad dela soluci´on del problema planteado de acuerdo a eventuales modificaciones de los valores de los par´ametros, o bien, debido a la incorporaci´on de nuevos
elementos a la situaci´on.
Llamaremos An´
alisis de Sensibilidad al estudio de la variaci´on del ´optimo de un LP producto
de modificaciones de ciertos par´ametros como coeficientes de variables en la funci´on objetivo, coeficientes del ladoderecho de restricciones, etc.
La idea general consiste en determinar rangos de variaci´
on de los par´ametros del LP de forma de
mantener una cierta base ´optima, teniendo en cuenta que una soluci´on b´asica es factible s´olo si todas
las variables basales tienen un valor no negativo. Debido a que el estudio de la variaci´on simult´anea de
varios par´ametros puede ser dif´ıcil, nos centraremos enprimer lugar en modificaciones de un par´ametro
a la vez manteniendo los restantes fijos. Estudiaremos las siguientes posibilidades:
Cambio 1 Cambio del coeficiente en la funci´
on objetivo de una variable no b´
asica.
Cambio 2 Cambio del coeficiente en la funci´
on objetivo de una variable b´
asica.
Cambio 3 Cambio del coeficiente del lado derecho de una restricci´
on.
Cambio 4 Incorporaci´
on deuna nueva variable.
Cambio 5 Incorporaci´
on de una nueva restricci´
on.
Adem´as, se estudiar´a la variaci´on simult´anea de coeficientes en la funci´on objetivo y del lado derecho
mediante la regla del 100 %.
Para desarrollar las distintas opciones consideraremos el siguiente ejemplo en su versi´on est´andar:
Max
s.t.
z = 60x1 + 30x2 + 20x3
8x1 + 6x2 + x3 + s1
= 48 (a)
4x1 + 2x2 + 1,5x3 + s2
= 20(b)
2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + s3 = 8 (c)
(1.1)
Aplicando el m´etodo Smplex obtenemos el tableau final del Cuadro 1.1. Luego, la soluci´on ´optima del
problema corresponde a z = 280, s1 = 24, x3 = 8, x1 = 2 y x2 = s2 = s3 = 0.
1
Segundo Semestre 2003
An´
alisis de Sensibilidad
Base cj
s1
0
x1
60
0
x2
30
−2
x3 s1
20 0
0 1
s2
0
2
s3
0
−8
bi
24
x3
20
0
−2
1
0
2
−4
8
x1
60
1
1,250
0
−0,5
1,5
2
60
0
35
−5
20
0
0
0
10
−10
10 280
−10
zj
cj − z j
Cuadro 1.1: Tableau Final del Problema (1.1)
2.
Cambio del Coeficiente en la Funci´
on Objetivo de una Variable
No B´
asica
En la base ´optima del problema (1.1) la u
´nica variable de decisi´on no basal es x 2 . Dicha variable,
posee como coeficiente en la funci´on objetivo: c2 = 30. Llamaremos cj al coeficiente enla funci´on objetivo de la variable j. Como x2 no est´a en la base, ser´ıa interesante determinar el valor de c2 necesario
para que la variable x2 sea incorporada a la base ´optima.
Debido a que s´olo se est´a cambiando el coeficiente de una variable en la funci´on objetivo, la regi´on factible del problema se ve inalterada, es decir, no se ve modificada la factibilidad del ´
optimo
actual. S´olopuede ocurrir que la soluci´on actual deje de ser la ´optima si c2 crece lo suficiente. Para
determinar dicho valor, incorporemos expl´ıcitamente una variaci´on δ al coeficiente c 2 y veamos su
efecto sobre el tableau ´optimo (Cuadro 2.1).
Base cj
s1
0
x1
60
0
x2
30 + δ
−2
x3
20
0
x1
60
1
zj
cj − z j
x3 s1
20 0
0 1
s2
0
2
s3
0
−8
bi
24
−2
1
0
2
−4
8
1,25
0
0
−0,5
1,5
260
35
20
0 −5 + δ 0
0
0
10
−10
10 280
−10
Cuadro 2.1: Modificaci´on de c2
Debido a que la modificaci´on es en una variable no basal, s´olo se ve alterado el precio sombra de
la variable no basal modificada, es decir, c2 − z2 . Para que la base no se altere, el precio sombra de x2
debe seguir siendo no negativo (caso maximizaci´on):
c2 − z2 = −5 + δ ≤ 0 → δ ≤ 5
(2.1)
En este caso, cualquier...
Investigaci´on de Operaciones 1
An´alisis de Sensibilidad
1 de agosto de 2003
1.
Introducci´
on
Cualquier modelo de una situaci´on es una simplificaci´on de la situaci´on real. Por lo tanto, existe
cierta incertidumbre en la determinaci´on de los valores de todos los par´ametros involucrados. Debido
a ello, es importante estudiar la variabilidad dela soluci´on del problema planteado de acuerdo a eventuales modificaciones de los valores de los par´ametros, o bien, debido a la incorporaci´on de nuevos
elementos a la situaci´on.
Llamaremos An´
alisis de Sensibilidad al estudio de la variaci´on del ´optimo de un LP producto
de modificaciones de ciertos par´ametros como coeficientes de variables en la funci´on objetivo, coeficientes del ladoderecho de restricciones, etc.
La idea general consiste en determinar rangos de variaci´
on de los par´ametros del LP de forma de
mantener una cierta base ´optima, teniendo en cuenta que una soluci´on b´asica es factible s´olo si todas
las variables basales tienen un valor no negativo. Debido a que el estudio de la variaci´on simult´anea de
varios par´ametros puede ser dif´ıcil, nos centraremos enprimer lugar en modificaciones de un par´ametro
a la vez manteniendo los restantes fijos. Estudiaremos las siguientes posibilidades:
Cambio 1 Cambio del coeficiente en la funci´
on objetivo de una variable no b´
asica.
Cambio 2 Cambio del coeficiente en la funci´
on objetivo de una variable b´
asica.
Cambio 3 Cambio del coeficiente del lado derecho de una restricci´
on.
Cambio 4 Incorporaci´
on deuna nueva variable.
Cambio 5 Incorporaci´
on de una nueva restricci´
on.
Adem´as, se estudiar´a la variaci´on simult´anea de coeficientes en la funci´on objetivo y del lado derecho
mediante la regla del 100 %.
Para desarrollar las distintas opciones consideraremos el siguiente ejemplo en su versi´on est´andar:
Max
s.t.
z = 60x1 + 30x2 + 20x3
8x1 + 6x2 + x3 + s1
= 48 (a)
4x1 + 2x2 + 1,5x3 + s2
= 20(b)
2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + s3 = 8 (c)
(1.1)
Aplicando el m´etodo Smplex obtenemos el tableau final del Cuadro 1.1. Luego, la soluci´on ´optima del
problema corresponde a z = 280, s1 = 24, x3 = 8, x1 = 2 y x2 = s2 = s3 = 0.
1
Segundo Semestre 2003
An´
alisis de Sensibilidad
Base cj
s1
0
x1
60
0
x2
30
−2
x3 s1
20 0
0 1
s2
0
2
s3
0
−8
bi
24
x3
20
0
−2
1
0
2
−4
8
x1
60
1
1,250
0
−0,5
1,5
2
60
0
35
−5
20
0
0
0
10
−10
10 280
−10
zj
cj − z j
Cuadro 1.1: Tableau Final del Problema (1.1)
2.
Cambio del Coeficiente en la Funci´
on Objetivo de una Variable
No B´
asica
En la base ´optima del problema (1.1) la u
´nica variable de decisi´on no basal es x 2 . Dicha variable,
posee como coeficiente en la funci´on objetivo: c2 = 30. Llamaremos cj al coeficiente enla funci´on objetivo de la variable j. Como x2 no est´a en la base, ser´ıa interesante determinar el valor de c2 necesario
para que la variable x2 sea incorporada a la base ´optima.
Debido a que s´olo se est´a cambiando el coeficiente de una variable en la funci´on objetivo, la regi´on factible del problema se ve inalterada, es decir, no se ve modificada la factibilidad del ´
optimo
actual. S´olopuede ocurrir que la soluci´on actual deje de ser la ´optima si c2 crece lo suficiente. Para
determinar dicho valor, incorporemos expl´ıcitamente una variaci´on δ al coeficiente c 2 y veamos su
efecto sobre el tableau ´optimo (Cuadro 2.1).
Base cj
s1
0
x1
60
0
x2
30 + δ
−2
x3
20
0
x1
60
1
zj
cj − z j
x3 s1
20 0
0 1
s2
0
2
s3
0
−8
bi
24
−2
1
0
2
−4
8
1,25
0
0
−0,5
1,5
260
35
20
0 −5 + δ 0
0
0
10
−10
10 280
−10
Cuadro 2.1: Modificaci´on de c2
Debido a que la modificaci´on es en una variable no basal, s´olo se ve alterado el precio sombra de
la variable no basal modificada, es decir, c2 − z2 . Para que la base no se altere, el precio sombra de x2
debe seguir siendo no negativo (caso maximizaci´on):
c2 − z2 = −5 + δ ≤ 0 → δ ≤ 5
(2.1)
En este caso, cualquier...
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