SENSORES OBTOELECTRICOS

An´lisis Din´mico de un Mecanismo de Manivela Biela
a
a
Corredera.
Jos´ Mar´ Rico Mart´
e
ıa
ınez
Departamento de Ingenier´ Mec´nica.
ıa
a
Campus Irapuato-Salamanca, Universidad de Guanajuato.
Comunidad de Palo Blanco.
CP 36885, Salamanca, Gto., M´xico
e
E-mail: jrico@salamanca.ugto.mx

1

Introducci´n.
o

Estas notas tienen como objetivo mostrar la soluci´n del an´lisisdin´mico de un mecanismo plano
o
a
a
de manivela biela corredera e ilustrar, mediante este ejemplo sencillo, las diferentes tareas del an´lisis
a
din´mico de maquinaria.
a

2

An´lisis Cinem´tico del Mecanismo de Manivela Biela Coa
a
rredera.

Frecuentemente, el an´lisis din´mico de cualquier m´quina inicia con el an´lisis cinem´tico del, o de
a
a
a
a
a
los, mecanismo(s) queconstituyen la m´quina. Este caso, no es la excepci´n, de manera que en esta
a
o
secci´n se analiza con relativa profundidad el an´lisis cinem´tico de un mecanismo de manivela biela
o
a
a
corredera. Para tal fin, se obtendr´n las ecuaciones correspondientes al an´lisis de posici´n, velocidad
a
a
o
y aceleraci´n del mecanismo.
o
Considere el mecanismo de biela manivela corredera mostrado enla figura 1. La ecuaci´n del lazo
o
del mecanismo est´ dado por
a
(1)
a2 + a3 = e + s.
Si se seleccionan los angulos asociados a los vectores, θe = 270◦ , θ2 , θ3 , θs = 0◦ , a partir del semieje
´
positivo X, las componentes escalares de la ecuaci´n (1), a lo largo de los ejes X y Y est´n dadas por
o
a
a2 Cθ2 + a3 Cθ3
a2 Sθ2 + a3 Sθ3

=
=

e Cθe + s Cθs
e Sθe + s Sθs

(2)

o,substituyendo los valores de los angulos θs y θe , se tiene que
´
a2 Cθ2 + a3 Cθ3

= s

a2 Sθ2 + a3 Sθ3

= −e

(3)

Debe notarse que los par´metros del mecanismo son e, θe , a2 , a3 , θs , mientras que las variables son
a
u
o
o
´
θ2 , θ3 y s. Mas a´ n, si el eslab´n motriz es el eslab´n 2, el angulo θ2 aun cuando es una variable, es

1

Figure 1: Mecanismo de Manivela BielaCorredera.
un dato conocido y necesario para realizar el analisis de posici´n, de modo que las dos ecuaciones (3)
o
cuya soluci´n constituye el an´lisis de posici´n est´n dadas por
o
a
o
a
f1 (θ3 , s) =

a2 Cθ2 + a3 Cθ3 − s = 0

f1 (θ3 , s) =

a2 Sθ2 + a3 Sθ3 + e = 0

(4)

La matriz Jacobiana asociada a este sistema de dos ecuaciones con dos inc´gnitas est´ dada por
o
a
J(θ3, s) =

∂f1
∂θ3
∂f2
∂θ3

∂f1
∂s
∂f2
∂s

=

−a3 S θ3
a 3 C θ3

−1
0

.

(5)

Es importante notar que el determinante de la matriz jacobiana est´ dado por
a
|J(θ3 , θ4 )| = a3 C θ3 .

(6)

Debe notarse que la matriz Jacobiana es singular cuando
C θ3 = 0

o θ3 ∈ {90◦ , −90◦}.

Los valores de θ3 = 90◦ o θ3 = −90◦ corresponden a posiciones de puntos muertos, queindican los
l´
ımites del movimiento de la manivela, o eslab´n 2.
o
Con las ecuaciones (4, 5) es posible realizar el an´lisis de posici´n del mecanismo de manivela biela
a
o
corredera. Suponga ahora que se ha realizado el an´lisis de posici´n del mecanismo de manivela biela
a
o
corredera, derivando las ecuaciones (4), con respecto al tiempo se obtienen las ecuaciones correspondientes alan´lisis de velocidad del mecanismo de manivela biela corredera. Estas ecuaciones est´n
a
a
dadas por
˙
g1 (ω3 , s) =

−a2 Sθ2 ω2 − a3 Sθ3 ω3 − s = 0
˙

g1 (ω3 , s) =
˙

a2 Cθ2 ω2 + a3 Cθ3 ω3 = 0

(7)

Debe notarse que, una vez resuelto el an´lisis de posici´n del mecanismo de manivela biela correa
o
˙
dera, las ecuaciones (7) representan un sistema lineal de dos ecuaciones con dosinc´gnitas, ω3 y s.
o
2

Este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como
−a3 S θ3
a 3 C θ3

−1
0

ω3
s
˙

=

a2 Sθ2 ω2
−a2 Cθ2 ω2

(8)

Debe notarse que la matriz de coeficientes de la ecuaci´n (8) es la misma matriz jacobiana del
o
sistema no lineal de ecuaciones asociada al an´lisis de posici´n del mecanismo. Por lo que, excepto en
a
o
un caso...