Sentido de concavidad

Aplicaciones de la Derivada : SENTIDO DE CONCAVIDAD DE UNA CURVA

Definición : Sea y = f (x) una curva plana , representada por la función f(x) , derivable.

• Se dice que f es Cóncava haciaarriba en el intervalo ]a , b[ , si todos los puntos de la gráfica quedan por encima de la tangente a la curva en un punto cualquiera en ese intervalo .

• Se dice que f es Cóncava hacia abajo enel intervalo ] a, b [ si todos los puntos de la gráfica quedan por debajo de la tangente a la curva en un punto cualquiera de ese intervalo.

En (a) la pendiente de la recta tangente aumentacuando P describe el arco P P´ : luego, f´(x) aumenta . Esto significa que f´(x) es Creciente ( por definición de crecimiento).

Si la función f´(x) es creciente ,entonces su derivada es positiva ,es decir f´´ (x) es positiva.
En (b) cuando P describe el arco QB , la pendiente de la recta tangente disminuye.
Luego f´(x) disminuye , si x aumenta . Entonces podemos decir que f ´(x) esuna función decreciente y por ende su derivada, f ´´(x) es negativa.

Entonces : f ´(x) es creciente si f ´´(x) es positiva
f ´(x) es decreciente si f ´´(x) es negativa

Para hallarlos intervalos abiertos en los que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo , es necesario conocer los intervalos donde f ´ es creciente o decreciente .

Porejemplo , la gráfica de es cóncava hacia abajo en el intervalo
]-, 0 [ , ya que f ´ es decreciente en él.
Análogamente, la gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo ] 0 , [ , a alser f ´ creciente en él.

Criterio de Concavidad.-

Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I .
(i) Si f ´´ (x ) > 0 para todo x en I , la gráfica de f esCóncava hacia arriba.
(ii) Si f ´´ (x ) < 0 para todo x en I , la gráfica de f es Cóncava hacia abajo .


Es recomendable aplicar el siguiente procedimiento cuando se quiere determinar la...