Sep Mataplicadas_s2013

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS
OFICIALES DE GRADO

Curso 2012-2013
MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES II

INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN
INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente
examen y contestar razonadamente a los cinco ejercicios delos que consta la opción elegida.
Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de
capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico.
CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo.
TIEMPO: Una hora y treinta minutos.

OPCIÓN A
Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)
0 2
−3
8
Seconsideran las matrices A =
y B=
.
3 0
3 −5
a) Calcúlese la matriz inversa de A.
b) Resuélvase la ecuación matricial A · X = B − I, donde I es la matriz identidad.
Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)
Sea C la región del plano delimitada por el sistema de inecuaciones

x + 3y ≥ 3



2x − y ≤ 4

2x + y ≤ 24



x ≥ 0, y ≥ 0.
a) Represéntese la región C y calcúlense las coordenadas desus vértices.
b) Determínese el punto de C donde la función f (x, y) = 3x + y alcanza su valor máximo. Calcúlese
dicho valor.
Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)
Se considera la función real de variable real definida por f (x) =

x3
.
x2 − 9

a) Hállense las asíntotas de f.
b) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
Ejercicio 4.(Calificación máxima: 2 puntos)
En un avión de línea regular existe clase turista y clase preferente. La clase turista ocupa las dos terceras
partes del pasaje y la clase preferente el resto. Se sabe que todos los pasajeros que viajan en la clase
preferente saben hablar inglés y que el 40 % de los pasajeros que viajan en clase turista no saben hablar
inglés. Se elige un pasajero del avión al azar.
a)Calcúlese la probabilidad de que el pasajero elegido sepa hablar inglés.
b) Si se observa que el pasajero elegido sabe hablar inglés, ¿cuál es la probabilidad de que viaje en la clase
turista?
Ejercicio 5. (Calificación máxima: 2 puntos)
El tiempo de renovación de un teléfono móvil, expresado en años, se puede aproximar mediante una
distribución normal con desviación típica 0,4 años.
a) Se toma unamuestra aleatoria simple de 400 usuarios y se obtiene una media muestral igual a 1,75 años.
Determínese un intervalo de confianza al 95 % para el tiempo medio de renovación de un teléfono móvil.
b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la
media muestral y la media poblacional sea menor o igual a 0,02 años con un nivel de confianza del 90 %.

OPCIÓN B
Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro k :

= 0
 kx + y
x + ky − 2z = 1

kx − 3y + kz = 0
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema para k = 1.
Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)
Se considera la función real de variable real definida por:
f(x) =

ax2 − 3
ln (2x − 1)

si x ≤ 1
si x > 1

a) Calcúlese a para que la función f sea continua en todo R.
b) Represéntese gráficamente la función para el caso a = 3.
Nota: ln x denota al logaritmo neperiano del número x.
Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)
Se considera la función real de variable real definida por f (x) =
a) Determínense los extremos relativos de f.
1
b) Calcúlese laintegral definida 0 f (x) dx.

x2

x
.
+4

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)
Una caja de caramelos contiene 7 caramelos de menta y 10 de fresa. Se extrae al azar un caramelo y se
sustituye por dos del otro sabor. A continuación se extrae un segundo caramelo. Hállese la probabilidad
de que:
a) El segundo caramelo sea de fresa.
b) El segundo caramelo sea del mismo sabor que el primero....