Separabilidad de l infinito

alvaro muoz UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO MATEMATICAS ˜ ALVARO MUNOZ FONSECA Ejercicios de An´lisis funcional a

1. l∞ es no separable: Prueba: Sea M := {y = (xn )n∈N ∈ l∞ , suceciones de ceros y unos},

sea f : M −→ [0, 1] (xn )n∈N = x −→ f (x) =
∞ xi i=1 2i

f esta bien definida en efecto, supongamos que x = y entonces xi = yi ∀i ∈ N
∞

f (x) =
i=1

xi = 2i

∞

i=1

yi = f (y) 2if es sobreyectiva, en efecto sea y ∈ [0, 1] dado que y tiene una representaci´n binaria entonces o y= y1 y2 y3 + 2 + 3 + .... 2 2 2

donde para cada i ∈ N, xi puede tener dos posible valorescero o uno por tanto x = (x1 , x2 , ...) ∈ M entonces ∃x ∈ M tal que f (x) = y. Y dado que [0, 1] es no numerable y como f (x) es sobreyectiva entonces M es no numerable. Para x, y ∈ M con x = y siemprese va tener que
x,y∈M
x=y

min d(x, y) = 1

(1)

Sea D = {B(x, 1 )|x ∈ M } 3 Probemos ahora que que D es una familia de conjuntos disjuntos, en efecto supongamos que ∃x ∈ l∞ tal que y ∈ B(x1 ,1 ) y y ∈ B(x2 , 1 ) con x1 , x2 ∈ M y x1 = x2 entonces 3 3 1 d(x1 , y) ≤ 3 y d(x2 , y) ≤ 1 por tanto 3 d(x1 , y) + d(x2 , y) ≤ 1 2 3

y utilizando la desigualdad triangular tenemos que d(x1 , x2) ≤ d(x1 , y) + d(x2 , y) ≤ entonces 2 (2) 3 por (1) y (2) tenemos una contradicci´n por tanto D es una familia de de conjuntos disjuntos o 1 Sea H un conjunto denso en l∞ entonces existe a ∈ H talque a ∈ B(x, 3 ) con x ∈ M entonces 1 para cada x ∈ M existe un a ∈ H tal que a ∈ B(x, 3 ) y dado que M es es no numerable entonces H es es no numerable y dado que H es arbitrario tenemos que no existeun conjunto denso en l∞ que sea numerable por tanto l∞ es no numerable d(x1 , x2 ) ≤ 2. Si X1 y X2 son isom´tricos y X1 es completo entonces X2 es completo e 2 3

Prueba: Sea X1 un espacio m´tricocompleto y supongamos X1 y X2 son isom´ticos, entonces existe e e un una funci´n T tal que o ˜ T : (X2 , d) −→ (X1 , d) con T biyectiva y para x, y ∈ X2 se tiene que ˜ d(Tx , Ty ) = d(x, y) Sea (xn...