Separata Aritmetica

ARITMETICA

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA

TEORIA DE CONJUNTOS
1. NOCION DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de
objetos que tienen características similares. A estos
objetos se les denomina ELEMENTOS de un
conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las
letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos
separados por coma o punto y coma, y encerrados
entre ✍
por ejemplo:
✛llaves,
✚ ✓ ✙✓ ☞✓ ☛☎
=
✘ ✍✒✓✔✓✕✓✖✓✗ ✑☎
=

✏ ✍✎✟✠ ✆✁✡☛✂✞☛☞✁✌ ✞✟✠ ✆✁✝  ✁✂✄☎
=

2. DETERMINACION DE CONJUNTOS
A) Por extensión: Un conjunto esta determinado
por extensión cuando se observa todos y cada
uno
de
los
elementos
del
conjunto,
enumerándolos o indicándolos en forma sobre
entendida:
A = {1,2,3,4}

Ej.:

B = {1,4,9,16, 25,36}
C = {a, e, i, o, u}

Esta denotado por (B ⊂ A) .
Se lee:
B esta incluidoen A
B esta contenido en A
B es subconjunto de A
Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sea:
B = {3, 4, 5}
1

A

3
6

4

5

B

2

Luego (B ⊂ A)
Pero ( A ⊄ B)
Observación:
Todo conjunto esta incluido en si mismo.
Todo conjunto es subconjunto de si mismo
El conjunto vacío esta incluido en todo conjunto
Sea n(A) el número de elementos del conjunto
A, entonces:
Número de subconjuntos

nº subconjutos de A = 2n( A )
Número de subconjuntos propios

B) Por comprensión: Un conjunto esta determinado
por comprensión cuando sus elementos se
caracterizan mediante una propiedad o
característica común.
Ej.: De los ejemplos anteriores
A = { x / x ∈ N ∧ x ≤ 4}

nº subconjutos propios de A = 2 n( A ) − 1
B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales
(=) si tienen los mismos elementos sin importar
el orden.A=B⇔ A⊂ B ∧ B⊂ A

B = { x 2 / x ∈ N ∧ x ≤ 6}
C = { x / x es una vocal}

OJO:
No todo conjunto de puede expresar por comprensión y
extensión a la vez.

C) Conjuntos diferentes: Dos conjuntos son
diferentes si uno de ellos por lo menos tiene un
elemento que no posee el otro.

A≠B⇔ A⊄B∨B⊄A

En general:

D) Conjuntos comparables: Dos conjuntos son
comparables sólo cuando uno de ellos esta
incluido en elotro.

forma del Caracteristicas
Conjunto = 

(propiedades) 
elemento
3. RELACION DE PERTENENCIA:
Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte
∈) a dicho
de el. Además se dice que pertenece (∈
conjunto, en caso contrario “no pertenece” ( ∉ ) a
dicho conjunto.

OJO:
La relación de pertenencia se da entre un elemento y un
conjunto sabiendo que un elemento puede tener forma de
conjunto.

A⊂B ∨ B⊂ A.

E) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son
disjuntos cuando no tienen ningún elemento en
común.
F) Conjuntos equivalentes: Dos conjunto son
equivalentes cuando tienen la misma cantidad
de elementos.
A <> B ⇔ n( A) = n(B)

4. RELACION ENTRE CONJUNTOS
A) INCLUSION: Se dice que B está incluido en el
conjunto A, si todos los elementos de B
pertenecen al conjunto A.

Lic. F. Alberto QuispeAyala

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5. CLASES DE CONJUNTOS:

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ACADEMIA PREUNIVERSITARIA

A) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad de
elementos es limitada; es decir se puede contar
desde el primero hasta el último.
B) Conjunto Infinito: Cuyo número de elementos
es ilimitado.
6. CONJUNTOS ESPECIALES:

A) Unión ( AUB ): La unión de dos conjuntos A y
B es el conjunto formado por la agrupación de
todos loselementos de A con todos los
elementos de B.

AUB = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}

A) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto que no tiene
elementos. Este conjunto tiene la particularidad
de ser subconjunto de todo conjunto
B) Conjunto Unitario: También llamado Singleton,
es aquel que tiene un solo elemento.
C) Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que
contiene todos los demás conjuntos, simbolizado
por la letra U.No existe un conjunto universal
absoluto.
D) Conjunto Potencia o conjunto de partes:
Conjunto formado por todos los subconjunto que
es posible formar con un conjunto dado.
Simbolizado por P(A); que es potencia del
conjunto A.
A = {a, b, c}
entonces
los
Ej.:
Sea
subconjuntos de A son:

{a}, {b}, {c}, {a;b}, {a; c}, {b; c}, {a;b; c}, ∅
OJO:
∅ ) es subconjunto
El conjunto vació (∅
subconjunto de...