SEPARATA_INTEGRACION_DE_FUNCIONES_Racionales_de_Seno_y_Coseno_AGO_07_definitivo

CALCULO INTEGRAL
INTEGRACIÓN DE FUNCIÓN RACIONAL DE SENO Y COSENO.
Semana 4

Sesión 1

Se dirá que R(u,v) es una función racional en u y v si es el cociente de dos polinomios en las variables u y v.𝑢+2𝑣−5
𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑅(𝑢, 𝑣) = 𝑢2−𝑣+𝑢+1 , para el caso en que 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(Ѳ)𝑦 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠(Ѳ) o viceversa
Se dirá que R(sen( ),cos( )) es una función racional de 𝑠𝑒𝑛(Ѳ)𝑦 𝑐𝑜𝑠(Ѳ)
𝑠𝑒𝑛(Ѳ)+2𝑐𝑜𝑠(Ѳ)−5

Por ejemplo𝑅(𝑠𝑒𝑛(Ѳ), cos(Ѳ)) = 𝑠𝑒𝑛 2(Ѳ)−𝑐𝑜𝑠(Ѳ)+𝑠𝑒𝑛(Ѳ)+1

Se define a las integrales de Funciones Racionales de sen ϴ y cos ϴ por:
I   R(sen ,cos  )d
Estos tipos de integrales se pueden llevar a una integral de una funciónracional de una variable por medio del cambio
de variable 𝑡 = 𝑡𝑔(𝜃/2), esto conlleva a la formación de los siguientes triángulos y al reemplazo de sen ϴ , cos ϴ, dϴ
en función de t, al terminar laintegración se reemplaza t por 𝑡𝑔(𝜃/2).
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

2𝑡
1 + 𝑡2

cos 𝜃 =

1 − 𝑡2
1 + 𝑡2

𝑑𝜃 =

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

2 𝑑𝑡
1 + 𝑡2

𝑑𝜃

2.

𝐼=∫

3.

𝐼 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃− 𝑐𝑜𝑠 𝜃−2

4.

𝐼 = ∫1 +

sen 𝜃 𝑑𝜃

3. Determine𝐼 = ∫ 2−cos 𝜃

5.

𝐼=∫

𝑑𝜃

𝑑𝜃

6.

Determinar 𝐼 = ∫

7.

Determinar 𝐼 = ∫ 3 + 2 cos 𝜃+2 𝑠𝑒𝑛 𝜃

8.

Determine 𝐼 = ∫

8−4 𝑠𝑒𝑛 𝜃+7 cos 𝜃

𝑑𝜃

1. Determine 𝐼 = ∫ 1+𝑐𝑜𝑠 𝜃
2. Determine I 

d

 1  sen cos
𝑑𝜃

4. Determine

𝐼 = ∫ 5+4 cos 𝜃
𝑑𝜃

5. Determine 𝐼 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃+𝑡𝑔 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃

cos 𝜃+ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃−cos 𝜃

𝑑𝜃
4 −5 cos 𝜃

𝑑𝜃

cos 𝜃 𝑑𝜃
1 + cos 𝜃+ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

EJERCICIOS PROPUESTOS
1.

𝑑𝜃

𝐼 = ∫ 4 𝑠𝑒𝑛𝜃+3 cos 𝜃

1

Calculo Integral

TAREA DOMICILIARIA
𝐼=∫

2.

𝐼 = ∫(

∫(

−2

𝑑𝜃

1.

3.

RESPUESTAS (TAREA DOMICILIARIA)
1. 𝐼 = 𝑡𝑔(𝜃/2)+1 + 𝐶

1+𝑠𝑒𝑛 𝜃
1+cos 𝜃
𝑠𝑒𝑛 2 𝜃−cos2 𝜃−2 𝑐𝑜𝑠𝜃−1

𝐼=

3.

1+2 𝑠𝑒𝑛 𝜃+cos𝜃− 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃−𝑠𝑒𝑛 2𝜃 – 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃

𝑠𝑒𝑛2 𝜃+𝑠𝑒𝑛2 𝜃 cos 𝜃

1

𝑡𝑔(𝜃/2)−1

2

𝑡𝑔(𝜃/2)+1

2. 𝐼 = ln |

) 𝑑𝜃

) 𝑑𝜃

|+C

𝐼 = 𝑡𝑔 2(𝜃/2) + 𝜃 + 𝐶

4. 𝐼 = 𝑥 − 𝑡𝑔(𝑥/2) + 𝐶
𝑡𝑔(𝑥/2)

4.

5.
6.



5. I= 𝑙𝑛 |1+𝑡𝑔(𝑥/2)| +𝐶

cos x
 dx
1  cos x

𝐼 = ∫ 1+𝑠𝑒𝑛 𝑥−cos 𝑥
𝐼=∫

𝑡𝑔(𝜃/2)−3

1

6. 𝐼 = 5 𝑙𝑛 |3 𝑡𝑔(𝜃/2)+1| + 𝐶

𝑑𝑥

7. 𝐼 = 𝑡𝑔(𝜃/2) − ln|1 + 𝑡𝑔(𝜃/2)| + 𝐶

𝑑𝜃
4 𝑠𝑒𝑛 𝜃−3 cos 𝜃
𝑡𝑔2 (𝜃/2)+3−2√2

7....