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Número natural
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
EJEMPLO.
• Definición sin el cero:
[pic]
• Definición con el cero:
[pic]
Número decimal
Se denominan números decimales a aquellos números reales que están escritosusando la representación decimal. Así, un número x perteneciente a R escrito usando la representación decimal tiene la siguiente expresión
[pic]
Donde a es un número entero cualesquiera, separado por una coma o punto y cada ai con i = 1,2,...,n,... pertenece al intervalo 0 ≤ ai ≤ 9.[][]
La representación decimal de los números reales tiene la particularidad de no ser única siempre, porejemplo, se puede demostrar fácilmente que 0,999...=1.
EJEMPLOS.
El punto decimal: se emplea un punto (.) para separar la parte entera de la decimal, este método es el utilizado en las calculadoras electrónicas y en los ordenadores, rara vez se utiliza en la notación de cifras manualmente.
[pic]
La coma decimal: se emplea una coma (,) como separador, esta forma en común en laspublicaciones y se utiliza también en las notaciones manuales.
[pic]
El apóstrofe decimal: el apóstrofe (') en ocasiones también llamado coma decimal es la forma usual de separar la parte decimal de un número en las notaciones a mano.
[pic]
En todos los casos, las cifras decimales, no se separan en grupos con espacios en blanco u otro signo, sino que se escriben seguidas, sea cual sea elnúmero de cifras decimales que forme la parte decimal del número en cuestión.
Números Cardinales.
El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto [pic], elcardinal de este conjunto se simboliza mediante [pic], [pic], [pic]o [pic]. Por ejemplo: si A tiene 3 elementos el cardinal se indica así: |A| = 3.

Ejemplo de cálculo del cardinal de un conjunto

• El cardinal conjunto finito A = {2,4,5} es 3. Demostración: En primer lugar resulta trivial probar que esta función es inyectiva: f: {2,4,5} → {1,2,3}:

[pic]

• El cardinal delconjunto infinito P = {x ∈ [pic]/ x es par } formado por los números pares es [pic]. Para probarlo basta con definir las funciones:

[pic]

Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que f es biyectiva. La cardinalidad del conjunto es [pic]. Esto concluye la demostración. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar que hay más naturales que pares(porque, por ejemplo, el 1 es natural y no está incluido en los pares), pero demostramos que estos conjuntos son equipotentes.
• El conjunto de pares (o más generalmente de n-tuplas) de números naturales tiene un cardinal [pic]. Esto se puede probar numerando los pares de números naturales anti-diagonalmente. Otro modo de probar es que [pic]tiene el mismo cardinal que un subconjunto infinitode los naturales:
g: [pic]x[pic] → [pic]g(x, y) = 3x * 2y
Al ser 3 y 2 números primos, para cada par x, y obtendremos un número distinto. Entonces g es inyectiva y [pic]

• El conjunto de los Números racionales [pic]tiene un cardinal igual a [pic]. Este resultado desafía un poco la intuición porque de un lado el conjunto de los racionales es "denso" en [pic]que tiene cardinal [pic], dehecho estudiando un poco la topología de los números reales, tenemos que entre dos números reales existe siempre un número racional, y entre dos racionales un real irracional. Eso podría hacer pensar que [pic]y [pic]son comparables según el número de elementos, pero resulta que [pic]sólo tiene tantos elementos como [pic], siendo el número de elementos de [pic]un infinito muy superior al número de...