Sergio
El teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema deGreen se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:
Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada,diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,
A veces la notación
se utiliza paraestablecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.
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Prueba del teorema de Green cuando D es una región simple
Si demostramos que lasecuaciones 1 y 2
y
son correctas, probamos el teorema de Green.
Si expresamos D como región tal que:
donde g1 y g2 son funciones continuas, podemos computar la integral doble de la ecuación1:
Ahora particionamos C como la unión de cuatro curvas: C1, C2, C3, C4.
Con C1, se utilizan las ecuaciones paramétricas, x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b. Por lo tanto:
Con C3, se utilizanlas ecuaciones paramétricas, x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b. Entonces:
Con C2 y C4, x es una constante, significando:
Por lo tanto,
Combinando esto con la ecuación 4, tenemos:
Una pruebasimilar se puede emplear en la Eq.2.
Ejercicios:
Usar el Teorema de Green para calcular la integral de línea:
donde C es la gráfica ilustrada en la Figura 5:
Solución:
Como P = y3 y Q =x3 + 3xy2 , se tiene:
y
Aplicando el Teorema de Green:
=
=
=
=
= = ¼
Nota:
El teorema de Green no es aplicable a todas las integrales de línea. Entre otras restriccionesespecificadas en el teorema, la curva C ha de ser cerrada y simple.
) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0),...
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