Sergio

Estudio de dos formulaciones débiles para un problema directo de Electroencefalografía

propuesta de trabajo de grado En modalidad investigación, presentado como requisito parcial para optar al título de matemático

sergio andrés córdoba pareja
Director: Dr. ramiro miguel acevedo martínez

Universidad del Cauca Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación Departamento deMatemáticas Popayán, Cauca 2013

Índice
Índice 1. Presentación 1.1. Modelo Estático de las Ecuaciones de Maxwell: Problema 1.2. Formulaciones Débiles para el problema directo EEG. . . 1.2.1. Método de Dualidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Método de Sustracción . . . . . . . . . . . . . . . 2. Justificación 3. Objetivos 3.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3.2. Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Metodología 5. Recursos 5.1. Recursos humanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Recursos materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Recursos económicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Cronograma deactividades 7. Presupuesto Bibliografía 1 2 2 4 4 5 6 7 7 7 8 9 9 9 9 10 11 12

directo EEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.
1.1.

Presentación

Modelo Estático de las Ecuaciones de Maxwell: Problema directo EEG

La Electroencefalografía (EEG) es una técnica no invasiva usada para localizar actividad eléctrica del cerebro humano, a partirde mediciones de las señales electromagnéticas externas producidas por dicha actividad eléctrica. El diseño de dispositivos capaces de llevar a la práctica estas técnicas, requiere del desarrollo de modelos matemáticos adecuados y de algoritmos eficientes que proporcionen con la mayor exactitud y con el menor costo computacional posible la actividad electromagnética del cerebro, y hace parte de larama de la ingeniería, basada en Biotecnología, conocida como Ingeniería Biomédica. En EEG se miden las diferencias de potencial eléctrico entre pares de electrodos colocados en la superficie de la cabeza: en la figura 1a) se muestra una capa elástica colocada en la cabeza de una persona, en la cual se han fijado 126 electrodos.

Figura 1: Distribución de sensores para EEG. Imagenes tomadas de[13]. El problema de localización de la actividad eléctrica del cerebro a través de las mediciones obtenidas por EEG es un problema inverso, es decir conocidas las mediciones del campo eléctrico en la superficie de la cabeza, se requiere determinar la fuente de densidad de corriente que produce dichos campos. Este problema inverso es conocido en la literatura como el problema inverso EEG (ver, porejemplo [15]). Un punto crítico para resolver eficientemente el problema inverso EEG es la selección del método numérico apropiado para resolver el problema directo EEG, que consiste en simular los campos eléctrico y magnético generados por ciertos modelos de fuentes de densidad de corriente del cerebro (ver, por ejemplo [11]). En el presente trabajo se estudiará el problema directo EEG tomando comopunto de partida el modelo estático de las ecuaciones de Maxwell y como modelo de fuente del cerebro un dipolo de corriente, en el cual la distribución de corriente está representada por una fuente puntual localizada en x0 y con momento p llamada dipolo: Je = p0 δx0 (1.1) 2

donde δx0 es la distribución delta de Dirac centrada en x0 . El modelo de dipolo de corriente es frecuentemente usado comomodelo de fuente de corriente eléctrica cerebral en presencia de focos epilépticos (ver [17]). Una vez determinado el modelo de fuete a utilizar, es necesario precisar el modelo estático de ecuaciones de Maxwell. El punto de partida para obtener este modelo es el sistema completo de las Ecuaciones de Maxwell, el cual está dado por ∂E = σE + Je , ∂t ∂H curl E + µ = 0, ∂t div(µH) = 0, div E = 0...