Serie 1

´
CALCULO
II

FACULTAD DE QUIMICA

´
CALCULO
II: 2016-1 GRUPO:3
SERIE 1: ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES
LINEALES.
❼ 1.- ESPACIOS VECTORIALES.

1. Escribe en forma expl´ıcita:
(a) El neutro para la suma de R3 .
(b) El inverso aditivo de (1, 2, −3, 5) en R4 .
(c) El inverso aditivo del inverso aditivo de un vector v ∈ Rn .
(d) El inverso aditivo del neutro para la suma de un vector v ∈ Rn.
(e) La propiedad conmutativa para la suma de vectores en R3 .
(f) La propiedad asociativa para la suma de vectores en R4 .
(g) El inverso aditivo de 4 veces el vector (2, 4, −7) ∈ R3 .
(h) El inverso aditivo de −(1, 4, 2, 3) + 2(3, 2, 1, 1) ∈ R4 multiplicado por el escalar −6.
(i) El vector de R4 que sumado a (3, 2, 0, 0) d´e por resultado el vector (0, 1, 2, 1).
(j) El vector de R3 que sumadocon el inverso aditivo de (1, −4, 6) da por resultado 3(3, 4, 2).
2. Dados los siguientes conjuntos y sus operaciones, verifica si son R-espacios vectoriales.
(a) V = (x, y, z) ∈ R3 | x + 2y − z = 0 con la Suma y Producto por escalar de R3 .
(b) V = (x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0 con la Suma y Producto por escalar de R2 .
i. Si u, v ∈ V , ¿Est´
a u + v ∈ V ? ¿Por qu´e?
ii. Encuentra un vectorespec´ıfico u ∈ V y un escalar espec´ıfico λ ∈ R tal que λu ∈
/ V . (Esto
basta para demostrar que V no es un espacio vectorial).
(c) V = {x ∈ R | x ≥ 0}.
Donde para x, y ∈ V , definimos: x ⊕ y = xy y λ

x = xλ , ∀λ ∈ R

(d) ¿V = Z × Z puede ser un Z-Espacio Vectorial? ¿Por qu´e?
(e) Una masa m se coloca en el extremo de un resorte y se jala de ella hacia abajo y luego se le
suelta, con lo cual estaempezar´a a oscilar. El desplazamiento y de la masa desde su posici´
on
de reposo est´
a dado por una funci´on de la forma: y(t) = c1 cos(ωt) + c2 sen(ωt) donde ω es
una constante que depende del resorte y de la masa. Demuestra que el conjunto de todas las
funciones descritas de esta forma (con ω fija y c1 y c2 arbritarias) es un espacio vectorial.

3. Determina si los siguientes conjuntos son SubespaciosVectoriales.
(a) W = (x, y) ∈ R2 | x = y
(b) W = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1
(c) W = (x, y, z, w) ∈ R4 | ax + by + cz + dw = 0, a, b, c, d ∈ R
(d) W = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 + x2 + · · · + xn = 0}

SERIE 1

1

´
CALCULO
II

FACULTAD DE QUIMICA

(e) W = (x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0; x + 2y + 3z = 0
(f) W = {f ∈ C[a, b] | f (a) = f (b)}
a
0

(g) W =

b
∈ M2×2 (R) : a, b, d ∈ R
d

(h) W= {A ∈ Mn×n (R) | At = A}
(i) W = p(t) ∈ P2 [t] | p(t) = at2 ; a ∈ R
(j) W = p(t) ∈ P2 [t] | p(t) = a + t2 ; a ∈ R
(k) W = p(t) ∈ P3 [t] | p(t) = a3 t3 + a2 t2 + a1 t + a0 ; a3 , a2 , a1 , a0 ∈ Z
4. Expresa a x como Combinacion Lineal del conjunto γ.
(a) x = (40, 17, −10)

γ = {(3, 2, 1), (8, 4, −1), (−2, 3, −8)}

(b) x = (−4, −13, −14)

γ = {(0, 2, 4), (1, 3, 0), (−2, −1, −2)}

γ = {(0, 1, 1),(1, −1, 0), (−1, 0, 1)}

(c) x = (−1, 2, 1)
(d) x = (5, 9, 5)

γ = {(2, 1, 4), (1, −2, 3), (−2, 4, −6)}

(e) x = (2, 2, 3)

γ = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 3)}

2

(f) x(t) = t + 4t − 3
(g) X =

3
1

1
−1

γ = t2 − 2t + 5, 2t2 − t3 , t + 3
γ=

1
1

1
0
,
0
1

0
0
,
1
0

2
−1

5. Di si los siguientes conjuntos son linealmente dependientes o independientes.
(a) {(2, 1)} en V = R2
(b) {(3, 2, 1),(1, 0, 0), (−4, 5, −2)} en V = R3
(c) {(1, 1, 9), (2, 1, 3), (2, 2, 3), (3, −3, −7)} en V = R3
(d) {(1, 4, 5, 0), (2, 1, 0, 0), (3, 1, 1, 1)} en V = R4
(e) {(1, 2, 3, 4), (0, 2, 3, 4), (0, 0, 3, 4), (0, 0, 0, 4)} en V = R4
(f) Determina el valor o los valores de a tal que {(1, a), (a, a + 2)} sea linealmente independiente
en V = R2 .
(g) {p1 (t) = 1, p2 (t) = t, p3 (t) = 4 − t} en V = Pn [t]
(h)Demuestra que {t, sen(t), cos(2t), sen(t) cos(t)} es un conjunto linealmente independiente de
funciones definidas en R
Comienza por suponer que c1 t + c2 sen(t) + c3 cos(2t) + c4 sen(t) cos(t) = 0
Esta ecuaci´
on debe de ser v´
alida para toda t real, as´ı que elige varios valores espec´ıficos para
t hasta obtener un sistema con las suficientes ecuaciones como para determinar que todas las
cj...