Serie 2 2016 1

SERIE # 2

CÁLCULO VECTORIAL

CÁLCULO VECTORIAL
SERIE 2
Página 1





1) Calcular las coordenadas del punto P de la curva: r  t   1  2 t  i  ( t 2 ) j  2 e2t 1 k
en el que el vector r´  t  es paralelo a r  t  .
SOLUCIÓN
P  1, 1 , 2 

2) Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria cuya ecuación vectorial es
r  t   (et cos t ) i  (et sent ) j , donde t es el tiempo.Demostrar que el ángulo entre el vector
de posición y el vector velocidad es constante y determinar el valor de dicho ángulo.
SOLUCIÓN


4

 x2  y 2  9
3) Determinar una ecuación vectorial de la curva: C : 
. Trazar la gráfica de C .
3  x  y
SOLUCIÓN
r  (3) i  (1) k y

r  (3) j  (1) k , dibujo a criterio del profesor.

4) Determinar si la curva de ecuación vectorial r (t )  (sent )i  (cos t ) k está contenida en
un plano.
SOLUCIÓN
La curva es plana.

2
5) Sea C la curva de ecuaciones paramétricas x  t , y  t 2 , z  t 3 .
3
Calcular:
a) La curvatura de C
b) La torsión de C

CÁLCULO VECTORIAL
SERIE 2
Página 2
SOLUCIÓN
2
 4
4 t  4 t2 1
2
 4
4 t  4 t2 1
6) Sea la curva dada por r (t )  ( t 3  t 2 ) i  ( t 2  2 t 3 ) j   3 t 2  k
a) Comprobar que dicha curvaes plana.
b) Obtener la ecuación cartesiana del plano que contiene a dicha curva.
SOLUCIÓN
a) A criterio del profesor.
b) 2 x  y  z  0

7) Sea C la curva c: r (t )  (2  t )i  (1  t 2 ) j  (3t  t 2 )k. Determinar si la curva es plana;
en caso afirmativo, obtener la ecuación cartesiana del plano que la contiene.
SOLUCIÓN
La curva C es plana y está contenida en el plano z  3x  y  7.

8)Dada la curva C cuya ecuación vectorial es obtener las coordenadas del centro de la
2 
2 


circunferencia de curvatura de C en el punto: r  t    2 t  t 3  i   2 t 2  j   2 t  t 3  k
3 
3 


Obtener las coordenadas del centro de la circunferencia de curvatura de C en
8 
 4
el punto P  , 2 ,  .
3 
 3
SOLUCIÓN
8
 20
C - , 2 , 
3
 3

9) Calcular el radio de curvaturadel tiro parabólico en el punto más alto. La ecuación de la
posición de la partícula es: r (t )   4  6t  i   6  8t  5t 2  j .

CÁLCULO VECTORIAL
SERIE 2
Página 3
SOLUCIÓN
36

 3.6
10

1
  1 t 1 t

10) Sea la curva C de ecuación vectorial r  t    et sent  i  
e  j   e cos t  k .
2
  2  2

a) Obtener la ecuación vectorial de C en términos de su longitud de arco sde modo
que cuando s=1 se tiene que t=0.
b) Calcular el vector tangente unitario a la curva C en el punto t =  .
SOLUCIÓN
s
  s 
s

a) r  s    sen  ln s   i  
 j   cos  ln s   k
2
  2 
2

1
1
1
, )
b) ( , 
2
2
2

11) La ecuación vectorial de una curva C, que se genera por la intersección de un cilindro

t2 t 
 i  t2 j  t k
parabólico y un plano, está dada por:r  t    2 
3
2

a) Obtener las ecuaciones de las superficies citadas.

dr
1
 i2jk.
dt
6
c) La ecuación del plano osculador para la condición anterior.
b) Obtener el vector normal principal a r  t  cuando

SOLUCIÓN
a) Ecuación del plano: 6 x  2 y  3z  12 .
1
b)  
 48 i  33 j  74 k 
2
48  332  742
c) 6 x  2 y  3z  12



Ecuación del cilindro:



y = z2 .

12) Sea lacurva C : r (s)   sen  s  , 0, cos  s  , donde s es el parámetro longitud
de arco. Determinar, para el punto P  0,0, 1 que pertenece a la curva:

CÁLCULO VECTORIAL
SERIE 2
Página 4
a)
b)
c)

Los vectores T , N y B .
La curvatura y la torsión de la curva.
La ecuación cartesiana del plano osculador.

SOLUCIÓN
a) T 1,0 ,0  , N (0,0,1), B(0, 1,0).
b) k  1,   0.
c) Plano osculador: y  0.13) Sea C la curva cuya ecuación vectorial es
r  t    2t 2  2  i   at 3  t 3  j   t 4  t 2  4  k .
a) Determinar el valor de la constante a de modo que C sea plana.
b) Calcular la curvatura de C en el punto donde t  1 .
SOLUCIÓN
a) a = 1
4
b)
13 13
14) Sea C la curva cuya ecuación vectorial es: r  t   t i  t 2 j  t 3k .
a) Calcular la curvatura y torsión de la curva C en el...