Serie Armonica. Apilamiento

PROBLEMA: Apilamiento de Libros.

¿Hasta qué punto puede una pila de n libros sobresalir de una mesa sin que se caigan?

Supongamos que cada libro es una unidad de longitud. Para equilibrar unlibro sobre la mesa, el centro de gravedad del libro debe estar en alguna parte de la mesa, para lograr la máxima pendiente, el centro de gravedad debe ser
[pic] unidad.

[pic][pic]

Si ahoraapilamos dos libros, el centro de gravedad del primero debería estar directamente encima del borde del segundo libro y el centro de gravedad de la pila de los dos libros debe estar directamente porencima del borde de la mesa. El centro de gravedad de la pila de los 2 libros se encuentra en el punto medio de los dos libros, es decir [pic] de unidad de la extremidad superior del libro.[pic]
Con cuatro libros, tenemos (1 + 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4) / 2 = 25/24 es superior a 1, por lo que ningunaparte del libro es superior directamente sobre la mesa.
[pic][pic]
Generalizando:
Entonces si tengo n + 1 libros.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]

Defino: [pic] [pic] [pic] [pic] Pendiente máxima posible.
Calculamos los primeros números armónicos.
[pic]
¿Cuál es la pendiente de cada uno de los números armónicos?(o de los primeros libros apilados).
[pic]
¿Y si quiero saber la longitud de 31 libros?
Deberíamos calcular [pic]
[pic][pic]
Esta cuestión se resolvería si pudiéramos expresar a [pic] de unmodo cerrado, es decir encontrar la fórmula cerrada. Lamentablemente, no existe pero si podemos encontrar formas cerradas por aproximación de [pic] utilizando el método integral:
[pic]
Laintegral de la función está dada por encima y por debajo del valor de la suma, es decir por el límite superior e inferior del número armónico.
[pic]



Estos límites nos indican que [pic] es...