Serie De Fourier

200 AÑOS DE CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER
La historia2 del análisis de Fourier tiene más de 200 años. Sus orígenes principian unos 60 años antes del momento en que Jean Baptiste Joseph Fourier presentó la primera versión de su trabajo sobre la teoría de la conducción del calor a la Academia de París (1807).
Los esfuerzos de los físicos y matemáticos se concentraban en dos problemasprincipales, que sentarían las bases de lo que posteriormente se conocería como análisis de Fourier:
* El problema de la cuerda vibrante o la propagación del sonido en un medio elástico;
* La determinación de las órbitas de los planetas a partir de mediciones.

El problema de la cuerda vibrante
Una cuerda elástica (un alambre metálico) sujeta en ambos extremos, vibra al ser golpeada
opunteada. Para simplificar el modelo se supondrá que la cuerda es un objeto unidimensional, ocupando el intervalo 0< x < 1en el plano x-y cuando está en reposo.
En el tiempo t = 0 se desplaza de su posición inicial, manteniendo sus extremos fijos. La forma de la cuerda se puede expresar como el grafo de una función
y = f (x), 0 < x < 1, con f (0) = f (1) = 0.
Apenas la cuerda se liberacomienza a vibrar: éste es el modelo de una cuerda punteada.
El modelo de la cuerda golpeada tiene en cuenta además que en t = 0 a cada punto x de la cuerda se le imparte una velocidad g(x) (la velocidad inicial) en la dirección y. La expresión y(t, x) describe el gráfico del desplazamiento del punto x de la cuerda en el tiempo t.
El movimiento queda gobernado por las ecuaciones:

La soluciónde este problema atrajo la atención de muchas generaciones de matemáticos.

La determinación de las órbitas de los planetas
El segundo problema que anticipó las bases del análisis de Fourier, particularmente en su forma discreta, fue la determinación de las órbitas de los cuerpos celestes. Euler, Lagrange y Alexis Claude Clairaut hicieron contribuciones fundamentales al proponer que los datosobtenidos a partir de las observaciones podían ser aproximados por combinaciones lineales de funciones periódicas. El cálculo de los coeficientes de esas expansiones trigonométricas llevó al cálculo de lo que hoy llamamos transformada discreta de Fourier. En realidad, un artículo escrito en 1754 por Clairaut contiene la primera fórmula explícita para el cálculo de la transformada discreta deFourier (TDF).
Clairaut y Lagrange habían estudiado el problema de ajustar datos astronómicos; como estos datos tienen patrones periódicos, era natural emplear funciones aproximadoras formadas por una suma ponderada de un número finito de funciones seno y coseno. La solución del cálculo de los pesos de las funciones trigonométricas condujo a una de las primeras expresiones de la transformada discretade Fourier. Una página del trabajo de
Lagrange publicado en 1759, que se muestra en la Fig. 2.1, contiene todos los ingredientes de una serie discreta de Fourier de senos; en la figura, el símbolo ˜w representa a p.
En junio de 1801 el astrónomo Zach publicó las posiciones orbitales de Ceres, un nuevo
“pequeño planeta” que había sido descubierto por G. Piazzi en enero del mismo año.Desafortunadamente Piazzi sólo pudo observar 9 grados de la órbita antes que desapareciera detrás del sol. Zach publicó varias predicciones de su posición, incluyendo una calculada por Gauss que difería notoriamente de las demás. Cuando Ceres fue redescubierto por Zach en diciembre de 1801 estaba casi exactamente donde Gauss había predicho. Casi al mismo tiempo Gauss obtuvo los datos de posición delasteroide Pallas, que se muestran en la Tabla 2.1. La variable q representa la ascensión en grados, y la variable x la declinación en minutos. La dupla (qn, xn) representa un par de datos, donde n = 0, . . . , 11. Para determinar la órbita es necesario encontrar una función continua de q que pase por cada uno de los 12 pares de puntos con el menor error posible. Como los valores de x parecen tener una...