Serie de potencias

Series de potencias

SERIES DE POTENCIAS
Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezbos@uoc.edu)

MAPA CONCEPTUAL

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Definición

SERIES DE POTENCIAS ENTERAS

Convergencia o divergencia

Radio de convergencia

Convergencia en los extremos del círculo de convergencia

Derivabilidad e integrabilidad

Sumas deseries de números reales

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Series de potencias

INTRODUCCIÓN

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Hemos visto anteriormente los criterios de convergencia para series de números reales positivos o alternados. Utilizando toda esta riqueza analítica vamos a ocuparnos de investigar el comportamiento de una seriede funciones, en particular, de potencias, cuya convergencia va a depender del valor de la variable x. Es así como podremos introducir el concepto de radio de convergencia R. Dentro del intervalo (-R, R) la serie será convergente, fuera, divergente, y en los puntos de frontera, es decir, en x=-R e y=R, deberemos estudiar las series numéricas asociadas a estos dos puntos para determinar laconvergencia o divergencia de la serie de potencias en ellos. Este Mathblock también tiene una parte aplicada. En ella illustramos la utilidad de las series de potencias para el cálculo de la suma de series numéricas. Derivando o integrando una serie de potencias, cuya suma analítica conozcamos, podemos llegar a una expresión que, por substitución de la variable, corresponda a la serie numérica cuya sumabuscamos. De esta forma podemos conseguir determinar la suma numérica indirectamente. Estas operaciones de derivación e integración sólo son posibles dentro del radio de convergencia de las serie de potencias. Aquí radica la importancia de determinar con exactitud el radio de convergencia.

OBJETIVOS DOCENTES ___
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Ser capaz de determinar para queintervalo de la recta real, una serie de potencias es convergente, es decir su suma infinita converge a un valor finito. Adquirir las intuiciones necesarias a fin de poder explorar la posibilidad que la suma de una serie numérica pueda calcularse mediante una serie de potencias. Dotarse de una cierta destreza en el uso de programa Mathcad para verificar la resolución de problemas de sumación deseries numéricas.

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CONOCIMIENTOS PREVIOS

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Previamente a la lectura de este Mathblock es recomendable el haber realizado un estudio detallado de los siguientes temas: • • Sucesiones y series de números reales. Derivación e integración.

Asimismo también es muy aconsejable que se tenga un conocimiento mínimo del programa Mathcad. Por lo tanto,recomendamos que trabajéis los Mathblocks: “Uso básico del Mathcad en Análisis (I): cálculo simbólico y analítico”, “Funciones de una variable”, “Derivación”, “Integración”, “Sucesiones” y “Series de números reales” antes de empezar con éste.

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Series de potencias

CONCEPTOS FUNDAMENTALES
• Las series depotencias

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Una serie del tipo:

a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + K + a n x n + K
ordenada por potencias enteras crecientes de la variable x y con coeficientes a 0 , a1 , a 2 , K , a n , K.

constantes, independientes de x , recibe el nombre de serie de potencias. A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:

a 0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + a3 ( x − a ) + K + a n ( x − a ) + K
2 3 n

donde a es otra constante. De hecho, por el Mathboch de “Aplicaciones de las derivadas” sabemos que este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:

x − a = x'
En lo que concierne a la...