SERIE DE TAYLOR Y DEMOSTRACION REGLA DE EULER.

INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL.
ESIME ZACATENCO.

 Alumno.Hernández Clemente Miguel Ángel.
 Docente.Silva Sarabia Christopher Román.
 Asignatura.Fundamentos De Algebra.
 Grupo.1AM5.
 Carrera.Ing. Control Y Automatización.
 Turno.Matutino.
 Boleta.PP13102312.
 Trabajo.
 Serie de Taylor.
 Serie de Taylor en Seno, Coseno y forma Exponencial.
 Demostración de la formula deEuler a partir de la Serie de Taylor.

1

ÍNDICE.

Serie de Taylor.
Serie de Taylor.

-

-

-

-

-

-

- 3.

Series de Taylor y algunas funciones.

-

-

-

-

-

- 4.

Serie de Taylor y la función “ex”.

-

-

-

-

-

-

- 6.

Serie de Taylor y la función Seno. -

-

-

-

-

-

- 7.

Serie de Taylor y la función Coseno.

--

-

-

-

-

Formula de Euler a partir de Serie de Taylor.-

-

-

-

-

- 9.

Caso Especial: “X=Pi”

-

-

-

-

- 12.

Bibliografía. -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

- 8.

-12.

2

“SERIE DE TAYLOR”.
La serie de Taylor es una serie funcional de una función “F (x)”, la cual es infinitamente derivable en
un entorno a númerosreales o números complejos denotado como “a”, y surge de una ecuación en la
cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en
términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
La serie de Taylor se basa en ir derivando según una ecuación general y mientras más operaciones ómás derivaciones tengan la serie más exacto será el resultado que se está buscando.
Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo

que contiene a “a” y a” x”, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

; o expresado de otra forma:

Donde n! es el factorial de n.
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a.
Como sepuede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio
(x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos
afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

no

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de nésimo orden.
Para otras funciones continuasdiferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene
una estimación exacta mediante un número finito de términos.
El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán
una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

3

SERIES DE TAYLOR Y ALGUNAS FUNCIONES.

A continuación seenumeran algunas series de Taylor de funciones importantes. Todos los desarrollos son
también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural:

Serie geométrica:

Teorema del binomio:

Función trigonométrica:

4

Función hiperbólica:

Función W de Lambert:

5

“SERIE DE TAYLOR Y LA FUNCIÓN “ex”.
Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylorcomo más sencillo le resulte a cada quien, una de
tantas
formas
la
explicare
aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a
tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se
sustituye un 0en cada derivada y se observa que resultados da:

Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de
cómo se comporta la función.
Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir empezando a armar la ecuación
de la serie.

Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se irá...