serie de taylor y mclaurin
Páginas: 2 (490 palabras)
Publicado: 1 de agosto de 2013
1.- Serie de Taylor.
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
¿Para que Sirve?
La serie deTaylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Por supuesto, para hacer esta aproximación sólose pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha deincluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...
¿Cómo funciona?
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operacionessegún una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
o expresado de otra forma
Donde n! esel factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a
Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificarel asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.
Teorema de Taylor: Si la función f y susprimeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
EJEMPLO:
Sea
la representación en serie de potencias de f(x).
Siderivamos obtenemos,
Evaluamos en
Encontramos la segunda derivada
Evaluamos en
Encontramos la tercera derivada
Evaluamos en
Encontramos la cuarta derivada
Evaluamos en
De estamanera podemos ver que
resolvemos para
Como = sustituimos y obtenemos,
Serie de Taylor centrada en c
Sea la fórmula de McLaurin
siendo con 0 < z < x.
Es decir ....
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
¿Para que Sirve?
La serie deTaylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Por supuesto, para hacer esta aproximación sólose pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha deincluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...
¿Cómo funciona?
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operacionessegún una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
o expresado de otra forma
Donde n! esel factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a
Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificarel asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.
Teorema de Taylor: Si la función f y susprimeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
EJEMPLO:
Sea
la representación en serie de potencias de f(x).
Siderivamos obtenemos,
Evaluamos en
Encontramos la segunda derivada
Evaluamos en
Encontramos la tercera derivada
Evaluamos en
Encontramos la cuarta derivada
Evaluamos en
De estamanera podemos ver que
resolvemos para
Como = sustituimos y obtenemos,
Serie de Taylor centrada en c
Sea la fórmula de McLaurin
siendo con 0 < z < x.
Es decir ....
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