serie de taylor


Universidad Autónoma del Estado De México
Facultad de Ingeniería




Derivadas Parciales


Cálculo II


Alumno: Edgar Jardón Torres



Profesor: M. en I. Merced Torres Sánchez


Semestre: 2° Grupo: 92


Periodo: 2013ª
Serie de Taylor para funciones de varias variables.
INTRODUCCION:
Através de la siguiente monografía pretendo dar a conocer los diferentes aspectos del tema “Serie de Taylor”, así como algunas de las implicaciones que conlleva dicho tema. Mi trabajo tendrá el objetivo principal de otorgar conceptos básicos, tanto de lo que es la serie, como lo que representa y su principal aplicación que es la de la aproximación de funciones reales de variables reales. Para poderlograr los objetivos enunciados anteriormente presentare ordenada la monografía en artículos para su mayor comprensión y retención de ideas a partir de la síntesis de información que fui obteniendo.
ORIGEN DE LA SERIE DE TAYLOR:
Teorema de Taylor 
El teorema matemático, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente JamesGregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

¿Qué problema satisface la serie de Taylor?
El filósofo eleata (es una escuela filosófica) Zenón de Elea consideró el problema de sumar unaserie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito desubdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito. Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.
LA SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCIÓN ANALÍTICA
Si una serie de Taylor converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serieconverge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.
Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita laestimación cuantitativa del error de dicha aproximación.
POLINOMIO DE TAYLOR.
Se denomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iníciales de la serie de Taylor de una función. La serie de Taylor de una función es, en caso de existir, el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convergiendo tal serie para cadapunto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) se denomina función analítica.
Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:

donde  es el gradiente y  es la matriz hessiana. Otra forma:


SERIE DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Este capítulo representa la parte medular (junto conaplicaciones), del tema principal de mi monografía ya que a continuación enuncio la forma de la serie de Taylor que servirá para poder resolver problemas aplicados a las funciones de varias variables.
La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de  variables:


donde  es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un...