Serie de taylor

Serie de Taylor
La “extensión de la serie” vuelve a dirigir aquí. Para otras nociones del término, vea serie.
En matemáticas, Serie de Taylor es una representación de a función como suma infinitade los términos calculados de los valores de su derivados en un solo punto. Puede ser mirado como límite de Polinomios de Taylor. Las series de Taylor se nombran en honor de Inglés matemático ArroyoTaylor. Si la serie utiliza los derivados en cero, la serie también se llama a Serie de Maclaurin, nombrado después Escocés matemático Colin Maclaurin.
Definición
La serie de Taylor de a verdadero ocomplejo función f(x) que es infinitamente diferenciable en a vecindad de a verdadero o complejo número a, es serie de energía
cuál en una forma más compacta se puede escribir como
donde n! esfactorial de n y f (n)(a) denota nth derivado de f evaluado en el punto a; el derivado del zeroth de f se define para ser f sí mismo y (x − a)0 ¡y 0! son ambos definidos para ser 1.
A menudo f(x) es iguala su serie de Taylor evaluada en x para todos x suficientemente cerca de a. Ésta es la razón principal por la que las series de Taylor son importantes.
En el caso particular donde a = 0, la serietambién se llama una serie de Maclaurin.
Ejemplos
La serie de Maclaurin para cualesquiera polinómico es el polinomio sí mismo.
La serie de Maclaurin para (1 − x) − 1 es serie geométrica
tan la seriede Taylor para x − 1 en a = 1 es
.
Integrando la serie antedicha de Maclaurin encontramos la serie de Maclaurin para , donde denota logaritmo natural:
y la serie correspondiente de Taylorpara en es
.
La serie de Taylor para función exponencial ex en a = 0 es
.
La extensión antedicha sostiene porque el derivado de ex está también ex y e0 iguales 1. Esto sale de lostérminos (x − 0)n ¡en el numerador y la n! en el denominador para cada término en la suma infinita.
Función exponencial
función exponencial es a función en matemáticas. El uso de esta función a un valor...