SERIE DE TAYLOR

SERIE DE TAYLOR
Una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobreel punto cero, , se le denomina serie de McLaurin.
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
es posible calcular la optimidad de la aproximación.

La serie de Taylor de una función f real o complejaƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

Que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:
,
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural


Serie geométricaFunciones trigonométricas



Donde Bs son los Números de Bernoulli.





Funciones hiperbólicas






Función W de Lambert


Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.


Fórmula de Euler-Maclaurin
En matemáticas, lafórmula de Euler-Maclaurin relaciona a integrales con series. Esta fórmula puede ser usada para aproximar integrales por sumas finitas o, de forma inversa, para evaluar series (finitas o infinitas) resolviendo integrales. La fórmula fue descubierta independientemente por Leonhard Euler y Colin Maclaurin en 1735. Euler usó esta fórmula para calcular valores de series infinitas con convergencia lenta yMaclaurin la utilizó para calcular integrales.

La fórmula
Si z es un número correlacional y es una función suave (suficientemente derivable) definida, entonces, la integral

Puede ser aproximada por la siguiente suma:


(Ver regla del trapecio). La fórmula de Euler-Maclaurin nos da una expresión para la diferencia entre la suma y la integral en función de derivadas de en los extremos del intervalode integración (0 y n). Para cualquier entero positivo p, tenemos que se cumple:

Donde son los números de Bernoulli y R es una estimación del error normalmente pequeña.
Realizando un cambio de variable en la integral, se puede modificar esta fórmula para funciones definidas en otros intervalos de la recta real

El término de error
El término de error R es:

Donde son los polinomios de Bernoulliperiódicos. El término de error se puede acotar por:


Usos
Sumas de polinomios
Si es un polinomio y p es suficientemente grande, entonces el término de error R se anula, por lo que se pueden resolver series de polinomios de forma exacta. Por ejemplo, si , escogiendo p = 2 se obtiene:

(ver fórmula de Faulhaber).
Integración numérica
La fórmula de Euler-Maclaurin se usa también para el análisisde errores en integraciones numéricas, de hecho, los métodos de extrapolación se basan en esta fórmula.
Expansión asintótica de series
Cuando se quiere calcular la expansión asintótica de series, la forma más cómoda de la fórmaula de Euler-Maclaurin es:

Donde y son enteros. Puede ocurrir que esta fórmula siga siendo válida incluso tomando el límite o , o ambos. En muchos casos, la integral de laderecha es resoluble mediante funciones elementales de forma cerrada incluso cuando la serie de la izquierda no puede ser resuelta. Entonces, todos los términos de la serie asintótica pueden ser expresados mediante funciones elementales, por ejemplo:

Donde la serie de la izquierda es igual a la suma de y , donde la serie de la derecha es la función polígama de primer orden.
Restando a los dos...