Serie De Taylor
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Publicado: 9 de diciembre de 2015
Serie de Taylor
A medida que aumenta el grado del polinomio de MacLaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x), centradas en 0, degrados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primerosn+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximaciónde funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinadovalor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, , se le denomina serie de McLaurin.
Estaaproximación tiene tres ventajas importantes:
la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
se puede utilizar para calcular valoresaproximados de funciones;
es posible calcular la optimidad de la aproximación.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casosnormalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.Definición[editar]
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:
que puede ser escrito de unamanera más compacta como la siguiente suma:
,
donde:
n! es el factorial de n
f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.
La derivada de ordencero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como son ambos definidos como 1 ( = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de McLaurin.
Cabe...
A medida que aumenta el grado del polinomio de MacLaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x), centradas en 0, degrados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primerosn+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximaciónde funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinadovalor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, , se le denomina serie de McLaurin.
Estaaproximación tiene tres ventajas importantes:
la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
se puede utilizar para calcular valoresaproximados de funciones;
es posible calcular la optimidad de la aproximación.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casosnormalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.Definición[editar]
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:
que puede ser escrito de unamanera más compacta como la siguiente suma:
,
donde:
n! es el factorial de n
f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.
La derivada de ordencero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como son ambos definidos como 1 ( = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de McLaurin.
Cabe...
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