Serie Finita

Unidad 4 Series.
4.1 Definición de serie.
Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas.
Aunque se define simplemente como la suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia.
Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como el último término.
Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción.
Por ejemplo:{1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
En algunos casos, es beneficioso convertir un número o una función en forma de series infinitas lo cual a su vez puede ayudar en su cálculo.
Incluso puede lograr que el cálculo complejo sea más fácil.
Por ejemplo, para el cálculo exponencial, este puede serconvertido en la forma:

Esta técnica de expansión puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener los valores estimados de la función, de las integrales o para resolver ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales.
Cuando la serie infinita es reemplazada por la suma de los términos inicialesde la serie, un valor de error aproximado puede ser estimado, lo que a su vez, ayuda en ladeterminación de la razón de convergencia efectiva para la serie correspondiente.
Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes propiedades:
1) Si el término parcial de la sucesión de la serie converge, entonces se dice que toda la serie es convergente. Por otro lado, si el término parcial de lasucesión diverge, la serie también diverge.
2) Encaso que el resto de alguna parte de la serie converja, entonces toda la serie converge y viceversa.
3) Si una serie de la forma converge, entonces la serie de la forma converge también.
4) Si la serie de la forma converge, entonces la serie de la forma converge.
5) La serie converge, sólo con la condición de que también converja.
6) Se dice que una serie de la forma es convergente siα> 1 y diverge en el caso inverso, es decir, cuando α<1.
Puede suceder el caso que la suma de las series sea desconocida.
En ese caso, la condición de Cauchy puede ser utilizada con el fin de encontrar la convergencia de la serie.
De acuerdo con la condición de Cauchy, existe un número n∊para cada ∊> 0, el cual satisface la condición , n>nε. Aquí p es un entero positivo.
Una serieque contiene los términos positivos tiene su importancia en la teoría de las series.
Una condición necesaria e importante para que estos tipos de seriessean convergentes es que la sucesión de la suma parcial debe ser limitada.
Por otro lado, si se cumple la condición , entonces la serie diverge.
Veamos un ejemplo del concepto de series convergentes y divergentes. Suponga que la forma de laseriees .
Con el fin de determinar si la serie dada converge o diverge, lo primero y más importante a determinar es si la suma parcial de la sucesión diverge o converge. La suma parcial de la sucesión parala serie correspondiente puede ser dada como . Se puede observar que el límite de los términos de la suma parcial es divergente al infinito .
Por lo tanto, se dice que toda la serie esdivergente.

4.1.1 serie Finita.
Al contrario de la serie infinita que contiene un número infinito de términos, una serie finita es una serie que contiene un número finito de términos o en otras palabras, contiene predefinido el primer y el último término.
Un ejemplo de serie finita podría ser de la forma:

Aquí ‘i’ es el índice de la suma y toma los valores desde 1 (el límite inferior) hasta n(límite superior). ai denota el término general.
Las seriesfinitas son ampliamente utilizadas en el campo de la ciencia y las computadoras. Las series finitas contienen conceptos simples pero efectivos.
Existen dos tipos posibles de series finitas:
Series Aritméticas: Una sucesión aritmética tiene un número finito de términos que difieren en una cantidad constante. Un ejemplo de tal...