Serie fourier

Propiedades de la Transformada de Fourier Demostraciones
W. Colmenares
Universidad Sim´n Bol´ o ıvar, Departamento de Procesos y Sistemas

Resumen Algunas propiedades de la transformada deFourier y sus demostraciones. Observe que las Series de Fourier comparten la mayor´ de las propiedades de la Transforıa mada de Fourier y que es f´cil extrapolar las propiedades de las Series a partir de alas de las transformadas.

1.

Generalidades

En general, para una se˜al x(t) su transformada de Fourier, que asumiremos n conocida, ser´ X(jω). Es decir: a F[x(t)] = X(jω) ´ F−1 [X(jω)] = x(t).o

2.

Linealidad

F[x(t) + y(t)] = X(jω) + Y (jω)

2.1. Demostraci´n o

∞

∞

∞

F[x(t)+y(t)] =
−∞

(x(t)+y(t))e

−jωt

dt =
−∞

x(t)e

−jωt

dt+
−∞

y(t)e−jωt dt =X(jω)+Y (jω)

Preprint submitted to PS2315

5 de junio de 2007

3.

Semejanza

F[X(t)] = 2πx(−jω).

3.1. Demostraci´n o Note que:
∞

X(jω) =
−∞

x(t)e

−jωt

1 dt = y x(t) = 2π∞

X(jω)ejωt dω;
−∞

por lo que si reemplazamos jω por −t, y viceversa, en ambas expresiones, recuperamos la otra por un factor de 2π.

4.

Desplazamiento en el tiempo

F[x(t − t0 )] =e−jωt0 X(jω)

4.1. Demostraci´n o

1 x(t) = 2π luego

∞

X(jω)e
−∞

jωt

1 dω ⇒ x(t − t0 ) = 2π
∞

∞

X(jω)ejω(t−t0 ) dω
−∞

1 x(t − t0 ) = 2π

e−jωt0 X(jω) ejωt dω
−∞

F[x(t−t0)]

5.

Conjugaci´n y Simetr´ o ıa

F[x∗ (t)] = X ∗ (−jω) 2

5.1. Demostraci´n o

 X(jω) =

∞

∗

∞

x(t)e
−∞

−jωt

dt

⇒ X (jω) =
−∞

∗

x∗ (t)ejωt dt

luego
∞X (−jω) =

∗

x∗ (t)
−∞ F−1 [X ∗ (−jω)]

e−jωt dt

5.2. Corolario En las se˜ales reales se cumple que x(t) = x∗ (t) luego n
∞ ∞

x (t)
−∞ F−1 [X ∗ (−jω)]

∗

e

−jωt

dt =x(t)
−∞ F−1 [X(jω)]

e−jωt dt

por lo que: X ∗ (−jω) = X(jω) ´ X ∗ (jω) = X(−jω). o

6.

Transformada de la derivada

F[ dx(t) ] = jωX(jω) dt

6.1. Demostraci´n o



1 d  x(t))...