serie geometria

DEPARTAMENTO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
2015-1

SERIE “ÁLGEBRA VECTORIAL”

1.-Sea C(2, -3, 5) el punto medio del segmento dirigido AB . Empleando
álgebra vectorial, determinar las coordenadas de los puntos A y B, si
las componentes escalares de AB sobre los ejes coordenados X, Y y Z
son 4, -8 y 2 respectivamente.
2.-Sea el punto P que está contenido en el plano YZ, está a dos unidades
dedistancia del origen de coordenadas, de ordenada negativa y cuyo
vector de posición forma un ángulo de 30º con el eje Z; y sea el punto
Q(4, 8, 2 3 ). Empleando álgebra vectorial, calcular la distancia entre
los puntos P y Q.
3.-Sean los vectores u y v , tales que u = 15 y v = 5. Si el vector u
tiene la misma dirección que el vector a = 3i + 4j y si el vector v tiene
la
misma dirección que elvector c = (-8, 0, 6), empleando álgebra
vectorial:
a) calcular el ángulo que forman los vectores u y v ;
b) obtener el módulo del vector u + v (sugerencia: utilizar la ley de los
cosenos).
c) determinar las componentes del vector u + v .

4. Sean los vectores u , v y w que se muestran en la siguiente figura:

Determinar:
a) La componente escalar de u en la dirección de w .
b) Lacomponente vectorial de u en la dirección de w .
c) La componente escalar de u en la dirección de v .
d) La componente vectorial de v en la dirección de u .
Si el valor absoluto de la componente escalar de w en la dirección de
u = 2 , determinar:
e) Las componentes del vector w .
f) Las coordenadas del punto E.
5. Para los vectores u , v y w que se muestran en las siguientes figuras,
expresarw en términos de u y v .

6.- Sea el triángulo cuyo vértices son los puntos A( -1, 2 , 0), B(5, -1 , 3)
y C(4,0,-2). Determinar un vector unitario que sea simultáneamente
perpendicular a los lados de dicho triángulo.
7.- Sean los vectores u y v tales que u = 3 y v = 4 y que forman un
2
radianes.
3
a) Calcular u  v
b) Haciendo uso de algunas propiedades del producto escalar calcularángulo  

uv

2

8.- Sean los vectores u y v tales que:
El vector u forma ángulos de 60° y 45° con los ejes X y Y,
respectivamente.
El vector v forma ángulos de 30° y 60° con los ejes Y y Z,
respectivamente.
Calcular el ángulo que forman los vectores u y v (hay dos soluciones).
9.- Sea el punto B que está contenido en el plano XZ. Si su vector de
posición b tiene módulo igual a 8y forma 45° con los vectores
unitarios i y k, determinar:
a) las coordenadas cartesianas del punto B,
b) los cosenos directores del vector b , y
c) la componente vectorial del vector b en la dirección del vector unitario
k.
10. Sean los vectores:

u = 3i - 2j + 5k
v = (2, 1, 0)

w = (-2, 5, 4)

Determinar:
a) Un vector x tal que: 4 u − 3 v + 2 x = w
b) Un vector a , perpendicular av y a w , cuyo módulo sea 4 14
11. Sea el punto A que pertenece al eje de las ordenadas, y cuya
distancia al origen es igual a 6; y sea el punto B contenido en el plano
XZ, cuyo vector de posición forma un ángulo de 60° con el eje de las
abscisas y de módulo igual a 10.
Empleando álgebra vectorial, calcular la distancia entre los puntos A y
B.
12. En las instalaciones de un centrodeportivo se desea construir una
alberca cuya área sea de 160 m 2 . Si el proyecto arquitectónico exige que
los lados de la alberca sean paralelos a los lados del terreno, con los
datos que se dan a continuación y con ayuda de la figura, determinar
vectorialmente las coordenadas de los puntos G y H.
A(0, 0, 3), B(0, 22, 3), C(30, 22, 3), D(30, 0, 3), E(19, 7, 3), F(3, 7, 3),
G(g1, g2, g3), y H(h1,h2, h3).

Hay 2 posibles soluciones. Interpretarlas.
13. Sean los vectores:

u = (0, b, c)
v = (-2, 1, -3)
w = 4i + j -2k

Determinar los valores de b y c tales que la componente escalar de u en
la dirección de v sea igual a √ 14 y la de u en la dirección de w sea igual
a 21 .

14. Sean los puntos A(3, 1, 2), B(7, 1, 10), C(1, 4, 3), utilizando álgebra
vectorial:
a) comprobar que...