Serie taylor
Páginas: 2 (312 palabras)
Publicado: 27 de septiembre de 2010
Definición
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie depotencias:
En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguientesuma
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la sumaes igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Unafunción es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
Series de Taylor notables
La función coseno.
Una aproximación deoctavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.
Las dos imágenes de arriba puestas juntas.
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funcionesimportantes. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.
Función exponencial y logaritmo natural
Serie geométrica
Teorema del binomio
para
y cualquiercomplejo
Funciones trigonométricas
Donde Bs son los Números de Bernoulli.
Funciones hiperbólicas
Función W de Lambert
Los números Bk que aparecen en los desarrollosde tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie depotencias:
En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguientesuma
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la sumaes igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Unafunción es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
Series de Taylor notables
La función coseno.
Una aproximación deoctavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.
Las dos imágenes de arriba puestas juntas.
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funcionesimportantes. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.
Función exponencial y logaritmo natural
Serie geométrica
Teorema del binomio
para
y cualquiercomplejo
Funciones trigonométricas
Donde Bs son los Números de Bernoulli.
Funciones hiperbólicas
Función W de Lambert
Los números Bk que aparecen en los desarrollosde tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.
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