serie
Páginas: 10 (2427 palabras)
Publicado: 29 de septiembre de 2014
SERIE # 1
CÁLCULO VECTORIAL
2014-2
CÁLCULO VECTORIAL
SERIE 1
Semestre 2014- 2
Página 2
1) Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función f x, y = x 2 y 2 x 2 y 2 .
SOLUCIÓN
P 0, 0 máximo relativo, P2 1, 1 punto silla, P3 1, 1 punto silla, P4
1
silla, P5
1, 1 punto
1, 1 punto silla.
Determinar la naturaleza de
f x, y = 2x3 3x 2 y y 2 3x 2 y 1 .
2)los
puntos
críticos
de
la
función
la
función
SOLUCIÓN
P 0,
1
1
mínimo relativo, P2
2
1 2
punto silla, P3 1, 2 punto silla.
,
3 3
Determinar la naturaleza
f ( x, y )= x3 + y 3 3x 2 3 y 2 8 .
3)
de
los
puntos
críticos
de
SOLUCIÓN
P 0, 0 punto silla, P2 0, 2 mínimo relativo, P3
1
punto silla.
2, 0 máximo relativo, P4
2, 24) Determinar los valores extremos de la función f x, y = x2 + y 2 - x3 + y 3 .
SOLUCIÓN
Un mínimo relativo en P 0, 0 de valor , un máximo relativo en P4
1
z
2
,
3
2
3
de valor
8
.
27
5) Determinar los puntos donde la función f x, y
máximos, mínimos o puntos silla.
cosh x senh y tiene valores
CÁLCULO VECTORIAL
SERIE 1
Semestre 2014- 2
Página 3
SOLUCIÓNLa función no tiene puntos críticos.
1 3
y + x 2 y 2x 2 2 y 2
3
determinar la naturaleza de cada uno de los puntos obtenidos.
6) Obtener los puntos críticos de la función f x, y
6
y
SOLUCIÓN
P 0, 0 máximo relativo, P2 0, 4
1
punto silla.
mínimo relativo, P3 2, 2
punto silla, P4
2, 2
7) Se desea construir un ducto desde el punto P , hasta el punto S , loscostos por cada
Km de ducto son: de 3 k en el tramo PQ , 2k en el tramo QR , y de k en el tramo RS .
Determinar las dimensiones de X y Y para que el costo del ducto sea mínimo.
SOLUCIÓN
X
1
2
y Y
1
3
x 2 + y 2 +2x - 2y - 1 en la región
8) Calcular los valores extremos de la función f x, y
x2
y2
4.
SOLUCIÓN
Los valores extremos son: f -1,1
3 mínimo y
f
2,- 2
8.65 máximo.
CÁLCULO VECTORIAL
SERIE 1
Semestre 2014- 2
Página 4
9) Determinar las coordenadas del punto P x, y, z que pertenece a la superficie
S : x2
y2
z 1 0 y que es el más cercano al origen.
SOLUCIÓN
El punto 0, 0, 1 es el más cercano (distancia mínima) al origen.
10) Dada la función f x, y = 2x3 xy 2 5x2 y 2 , determinar sus puntos críticos y la
naturalezade cada uno de ellos.
SOLUCIÓN
P 0, 0
1
P4
1,
mínimo relativo, P2
2
5
,0
3
máximo relativo, P3
1, 2
punto silla,
punto silla.
11) Determinar, si existen los valores extremos para la función f x, y = (x - 1)2 - 2y 2 .
SOLUCIÓN
La función no tiene valores extremos.
12) Obtener los puntos críticos de la función f (x, y,z)= 4x3 +2x 2 y+6xz +3z 2 - 2y+ x 2 yestablecer su naturaleza.
SOLUCIÓN
P 1, 2, 1 punto silla, P2
1
1, 4, 1 punto silla.
13) Determinar los puntos críticos de la función f (x, y,z)= 3xz 2 + zy 3 - 3x+12y - 2z +2 y
establecer su naturaleza.
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Semestre 2014- 2
Página 5
SOLUCIÓN
P 1, 2, 1 punto silla, P2
1
5
,
3
2, 1
punto silla.
Determinar la naturaleza de
f (x, y,z)= x2 +4xy - 10x - 3y 2 +4y+ z 2 .
14)
los
puntos
críticos
de
la
función
SOLUCIÓN
P 1, 2, 0 mínimo relativo.
15) Obtener los puntos críticos de la función f (x, y,z)= x 2 + 2xy +
establecer la naturaleza de cada uno de ellos.
z3
+ 2zy + 2x+ 2z - 10 y
3
SOLUCIÓN
P 0, 1, 0 punto silla, P2 2, 3,
1
2 punto silla.
Determinar
los
puntos
críticos
de
lafunción
2
2
2
f (x, y,z)= -2x - 3y - z + xy+ yz + x+ y+ z +10 y establecer la naturaleza de cada uno de
ellos.
16)
SOLUCIÓN
1 1 2
, ,
3 3 3
máximo relativo.
17) Obtener los puntos críticos de la función f (x, y,z)=
determinar la naturaleza de los mismos.
SOLUCIÓN
x3
- x+12 - y 2 + 2y - z 2 + 2z y
3
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Página 6
P...
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2014-2
CÁLCULO VECTORIAL
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Semestre 2014- 2
Página 2
1) Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función f x, y = x 2 y 2 x 2 y 2 .
SOLUCIÓN
P 0, 0 máximo relativo, P2 1, 1 punto silla, P3 1, 1 punto silla, P4
1
silla, P5
1, 1 punto
1, 1 punto silla.
Determinar la naturaleza de
f x, y = 2x3 3x 2 y y 2 3x 2 y 1 .
2)los
puntos
críticos
de
la
función
la
función
SOLUCIÓN
P 0,
1
1
mínimo relativo, P2
2
1 2
punto silla, P3 1, 2 punto silla.
,
3 3
Determinar la naturaleza
f ( x, y )= x3 + y 3 3x 2 3 y 2 8 .
3)
de
los
puntos
críticos
de
SOLUCIÓN
P 0, 0 punto silla, P2 0, 2 mínimo relativo, P3
1
punto silla.
2, 0 máximo relativo, P4
2, 24) Determinar los valores extremos de la función f x, y = x2 + y 2 - x3 + y 3 .
SOLUCIÓN
Un mínimo relativo en P 0, 0 de valor , un máximo relativo en P4
1
z
2
,
3
2
3
de valor
8
.
27
5) Determinar los puntos donde la función f x, y
máximos, mínimos o puntos silla.
cosh x senh y tiene valores
CÁLCULO VECTORIAL
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Semestre 2014- 2
Página 3
SOLUCIÓNLa función no tiene puntos críticos.
1 3
y + x 2 y 2x 2 2 y 2
3
determinar la naturaleza de cada uno de los puntos obtenidos.
6) Obtener los puntos críticos de la función f x, y
6
y
SOLUCIÓN
P 0, 0 máximo relativo, P2 0, 4
1
punto silla.
mínimo relativo, P3 2, 2
punto silla, P4
2, 2
7) Se desea construir un ducto desde el punto P , hasta el punto S , loscostos por cada
Km de ducto son: de 3 k en el tramo PQ , 2k en el tramo QR , y de k en el tramo RS .
Determinar las dimensiones de X y Y para que el costo del ducto sea mínimo.
SOLUCIÓN
X
1
2
y Y
1
3
x 2 + y 2 +2x - 2y - 1 en la región
8) Calcular los valores extremos de la función f x, y
x2
y2
4.
SOLUCIÓN
Los valores extremos son: f -1,1
3 mínimo y
f
2,- 2
8.65 máximo.
CÁLCULO VECTORIAL
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Semestre 2014- 2
Página 4
9) Determinar las coordenadas del punto P x, y, z que pertenece a la superficie
S : x2
y2
z 1 0 y que es el más cercano al origen.
SOLUCIÓN
El punto 0, 0, 1 es el más cercano (distancia mínima) al origen.
10) Dada la función f x, y = 2x3 xy 2 5x2 y 2 , determinar sus puntos críticos y la
naturalezade cada uno de ellos.
SOLUCIÓN
P 0, 0
1
P4
1,
mínimo relativo, P2
2
5
,0
3
máximo relativo, P3
1, 2
punto silla,
punto silla.
11) Determinar, si existen los valores extremos para la función f x, y = (x - 1)2 - 2y 2 .
SOLUCIÓN
La función no tiene valores extremos.
12) Obtener los puntos críticos de la función f (x, y,z)= 4x3 +2x 2 y+6xz +3z 2 - 2y+ x 2 yestablecer su naturaleza.
SOLUCIÓN
P 1, 2, 1 punto silla, P2
1
1, 4, 1 punto silla.
13) Determinar los puntos críticos de la función f (x, y,z)= 3xz 2 + zy 3 - 3x+12y - 2z +2 y
establecer su naturaleza.
CÁLCULO VECTORIAL
SERIE 1
Semestre 2014- 2
Página 5
SOLUCIÓN
P 1, 2, 1 punto silla, P2
1
5
,
3
2, 1
punto silla.
Determinar la naturaleza de
f (x, y,z)= x2 +4xy - 10x - 3y 2 +4y+ z 2 .
14)
los
puntos
críticos
de
la
función
SOLUCIÓN
P 1, 2, 0 mínimo relativo.
15) Obtener los puntos críticos de la función f (x, y,z)= x 2 + 2xy +
establecer la naturaleza de cada uno de ellos.
z3
+ 2zy + 2x+ 2z - 10 y
3
SOLUCIÓN
P 0, 1, 0 punto silla, P2 2, 3,
1
2 punto silla.
Determinar
los
puntos
críticos
de
lafunción
2
2
2
f (x, y,z)= -2x - 3y - z + xy+ yz + x+ y+ z +10 y establecer la naturaleza de cada uno de
ellos.
16)
SOLUCIÓN
1 1 2
, ,
3 3 3
máximo relativo.
17) Obtener los puntos críticos de la función f (x, y,z)=
determinar la naturaleza de los mismos.
SOLUCIÓN
x3
- x+12 - y 2 + 2y - z 2 + 2z y
3
CÁLCULO VECTORIAL
SERIE 1
Semestre 2014- 2
Página 6
P...
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