SERIES BUNGE
Páginas: 39 (9564 palabras)
Publicado: 11 de mayo de 2014
1
Sucesiones sumables (Series)
Mario Augusto Bunge
Ciclo Básico Común
Universidad de Buenos Aires
El símbolo de sumatoria
Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos a1 , a2 , a3 ,… , an y consideramos su suma
a1 + a2 + a3 + ... + an
En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el
símbolo de suma ∑ , llamado sumatoria, cuyautilización pasamos a describir.
Pondremos
n
∑a
k =1
= a1 + a2 + a3 + ... + an
k
En el especial caso en que sea n = 1 ,
1
∑a
k =1
k
= a1 .
El elemento ak se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es
preciso conocer el aspecto de este término general.
El número k que figura debajo del símbolo ∑ se llama índice de sumación, y entendemos que los valoresque toma este índice son 1, 2, … , n
Más generalmente, si p y q son dos números enteros, con p ≤ q , pondremos
q
∑a
k
k= p
= a p + a p +1 + " + aq
En este contexto, el número p se llama límite inferior de la suma , en tanto q es el límite superior de esa suma.
Ejemplos.
a)
Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:
12 , 22 , 32 , 42 , 52 , 62 ,7 2 , 82 , 92 , 102
o sea,
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102
Como es fácil ver, el término general es ak = k 2 , con lo que nuestra suma puede adqui10
rir el aspecto más descansado
∑k
2
. Así, se tiene la igualdad
k =1
10
∑k
k =1
2
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 ,
2
donde el lado izquierdo debe entenderse como unanotación más compacta del lado derecho.
Si queremos considerar solamente 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 pondremos
10
∑k
k =3
2
= 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102
3
b)
La suma p + p + " + p , con la notación de sumatoria, se escribe
#$ %$$
$
&
n
∑ p , lo cual
n sumandos
k =1
no nos debiera sorprender durante demasiado tiempo. La apariencia anómala sedebe a
que no figura algo así como ak , cosa que se subsanaría formalmente definiendo
a1 = a2 = " = an = p . Claramente esta precisión sería tediosa y absolutamente inútil.
7
Con esta notación,
∑1 = 5 , ya que estamos sumando el número 1 a medida que avanza
k =3
el índice de sumación: k = 3, 4,5, 6, 7 habiendo entonces (7 − 3) + 1 sumandos. Por lo
n
∑1 = n
mismo, el lectorentenderá las igualdades
n
y
k =1
c)
∑1 = n + 1 .
k =0
Fijemos un número real r , y consideremos sus primeras potencias
r 0 , r1 , r 2 , r 3 , r 4 , … , r n
Utilizando la notación estándar para su suma, se tiene
r 0 + r1 + r 2 + r 3 + " + r n .
Con la notación compacta, y teniendo presente que el término general es r k , ponemos
n
∑r
k
.
k =0
Así
n
∑r
k= r 0 + r1 + r 2 + r 3 + " + r n
k =0
Como r 0 = 1 y r1 = r , será más natural poner
1+ r + r2 + r3 +" + rn
Volveremos sobre esta suma.
Observación. Una vez familiarizados con la notación sumatoria, debe resistirse a la
tentación de abandonar definitivamente la notación tradicional. En ocasiones las manipulaciones son más claras cuando se hacen al estilo clásico. Por lo tanto,seremos dueños, y no esclavos, del símbolo de sumatoria.
4
Propiedades elementales de la sumatoria
Sean dos listas finitas de números, digamos a1 , a2 ,… , an y b1 , b2 ,… , bn . Entonces se
cumplen las siguientes propiedades.
•
Aditividad (suma término a término)
n
n
∑(a
k
k =1
•
n
k =1
k =1
+ bk ) = ∑ ak + ∑ bk
Homogeneidad (sacar los escalares afuera)
nn
k =1
k =1
∑ λ ak = λ ∑ ak
( λ es un número fijo)
Prueba de la aditividad.
Surge de la definición de suma, más una aplicación reiterada de las conocidas propiedades asociativa y conmutativa de la suma
n
∑(a
k =1
k
+ bk ) = ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + " + ( an + bn )
= ( a1 + a2 + " + an ) + ( b1 + b2 + " + bn )
n
n
k =1
k =1
= ∑ ak + ∑ bk
Prueba...
Sucesiones sumables (Series)
Mario Augusto Bunge
Ciclo Básico Común
Universidad de Buenos Aires
El símbolo de sumatoria
Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos a1 , a2 , a3 ,… , an y consideramos su suma
a1 + a2 + a3 + ... + an
En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el
símbolo de suma ∑ , llamado sumatoria, cuyautilización pasamos a describir.
Pondremos
n
∑a
k =1
= a1 + a2 + a3 + ... + an
k
En el especial caso en que sea n = 1 ,
1
∑a
k =1
k
= a1 .
El elemento ak se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es
preciso conocer el aspecto de este término general.
El número k que figura debajo del símbolo ∑ se llama índice de sumación, y entendemos que los valoresque toma este índice son 1, 2, … , n
Más generalmente, si p y q son dos números enteros, con p ≤ q , pondremos
q
∑a
k
k= p
= a p + a p +1 + " + aq
En este contexto, el número p se llama límite inferior de la suma , en tanto q es el límite superior de esa suma.
Ejemplos.
a)
Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:
12 , 22 , 32 , 42 , 52 , 62 ,7 2 , 82 , 92 , 102
o sea,
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102
Como es fácil ver, el término general es ak = k 2 , con lo que nuestra suma puede adqui10
rir el aspecto más descansado
∑k
2
. Así, se tiene la igualdad
k =1
10
∑k
k =1
2
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 ,
2
donde el lado izquierdo debe entenderse como unanotación más compacta del lado derecho.
Si queremos considerar solamente 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 pondremos
10
∑k
k =3
2
= 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102
3
b)
La suma p + p + " + p , con la notación de sumatoria, se escribe
#$ %$$
$
&
n
∑ p , lo cual
n sumandos
k =1
no nos debiera sorprender durante demasiado tiempo. La apariencia anómala sedebe a
que no figura algo así como ak , cosa que se subsanaría formalmente definiendo
a1 = a2 = " = an = p . Claramente esta precisión sería tediosa y absolutamente inútil.
7
Con esta notación,
∑1 = 5 , ya que estamos sumando el número 1 a medida que avanza
k =3
el índice de sumación: k = 3, 4,5, 6, 7 habiendo entonces (7 − 3) + 1 sumandos. Por lo
n
∑1 = n
mismo, el lectorentenderá las igualdades
n
y
k =1
c)
∑1 = n + 1 .
k =0
Fijemos un número real r , y consideremos sus primeras potencias
r 0 , r1 , r 2 , r 3 , r 4 , … , r n
Utilizando la notación estándar para su suma, se tiene
r 0 + r1 + r 2 + r 3 + " + r n .
Con la notación compacta, y teniendo presente que el término general es r k , ponemos
n
∑r
k
.
k =0
Así
n
∑r
k= r 0 + r1 + r 2 + r 3 + " + r n
k =0
Como r 0 = 1 y r1 = r , será más natural poner
1+ r + r2 + r3 +" + rn
Volveremos sobre esta suma.
Observación. Una vez familiarizados con la notación sumatoria, debe resistirse a la
tentación de abandonar definitivamente la notación tradicional. En ocasiones las manipulaciones son más claras cuando se hacen al estilo clásico. Por lo tanto,seremos dueños, y no esclavos, del símbolo de sumatoria.
4
Propiedades elementales de la sumatoria
Sean dos listas finitas de números, digamos a1 , a2 ,… , an y b1 , b2 ,… , bn . Entonces se
cumplen las siguientes propiedades.
•
Aditividad (suma término a término)
n
n
∑(a
k
k =1
•
n
k =1
k =1
+ bk ) = ∑ ak + ∑ bk
Homogeneidad (sacar los escalares afuera)
nn
k =1
k =1
∑ λ ak = λ ∑ ak
( λ es un número fijo)
Prueba de la aditividad.
Surge de la definición de suma, más una aplicación reiterada de las conocidas propiedades asociativa y conmutativa de la suma
n
∑(a
k =1
k
+ bk ) = ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + " + ( an + bn )
= ( a1 + a2 + " + an ) + ( b1 + b2 + " + bn )
n
n
k =1
k =1
= ∑ ak + ∑ bk
Prueba...
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