Series Calculo Integral

DEFINICION DE SERIE
Definiciones y notación.

A la suma de una sucesión de términos se denomina SERIE y el valor de dicha suma, si es que tiene
alguno, se define como

S = lim S n .
n→∞
Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la
denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un térmno inicial
multiplicado por una cantidadconstante, p. ej.
a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ar n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ . En
este caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r para obtener dicha
serie infinita.
En general una serie infinita significa una expresión de la forma
a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + ⋅ ⋅ ⋅ ,
donde las an son números o funciones dadas por alguna regla o fórmula. Los tres puntos
significan que la serienunca termina. Si se tiene duda de cómo es la regla usada en la
formación e la serie, el término general o término n-ésimo deberá expresarse, p. ej.
12 + 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2 + ⋅ ⋅ ⋅
x − x 2 + x
2
+ ⋅ ⋅ ⋅ +
(− 1)n−1 x n
(n − 1)!
+ ⋅ ⋅ ⋅
También usaremos formas abreviadas para denotar las series, p. ej. para las series anteriores, la
forma abreviada será

∞
∑
n=1
∞
∑ n 2
n =1
(− 1)n−1x n
(n − 1)! .

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más importante para
nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas matemáticos que no pueden resolverse
en términos de funciones elementales ( potencias, raíces, funciones trigonométricas y sus inversas,
logaritmos y exponenciales y combinaciones de estos), o en caso de que puedanresolverse, es muy
complicado trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y
usamos
los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones diferenciales son
resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una integral definida,
0.1
por ejemplo,
∫ e − x
0
dx , para la cual no hay solución en términos de funcioneselementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando término a
término dicha serie.

Definición de serie finita
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x+b)-f(x+a). Si una diferencia se divide por b-a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. Laaproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con ∆f. el teorema de Taylor puede expresarse por la siguiente formula.

Donde D denota el operador derivada,que hace corresponder ``f`` con su derivada, f`, es decir,

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta formula sigue siendo valida en el sentido que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearsepara obtener aproximaciones mas precisas de la derivada. Por ejemplo. Los dos primeros términos de la serie llevan a:

Definición de serie infinita
Criterio de Lembert
El criterio de dAlembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.
Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que sillamamos a L al limite para n tendiendo a infinito de se obtiene un numero L, con los siguientes
Si L‹1, An converge
Si L›1, An diverge
Si L = 1, el criterio no decide y es necesario calcular el limite de otro modo.
Este criterio se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea:
Tal que:
F(n)>0 (o sea una sucesión de términos positivos) y...