Series Calculo




MATERIA:
Calculo Integral.

PROFESOR:
Jorge Iñiguez Montoya.

ALUMNO(A):
Gladia Pacheco Rubio.

HORARIO:
3:00 a 4:00.

TEMA:
Series.







03 de junio 2015; Culiacán, Sinaloa.
4.1 Series.
Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.
Por ejemplo, 1, 4, 9, 16, 25.
Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anterioresobtenemos la serie:
1+4+9+16+25
Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie de llama sucesión infinita.
El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

4.1.1 Serie Infinita.
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor deabsolutamente todos los números naturales.
Son series de la forma S an (x - x0)n; los números reales a0, a1, ...., an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an. xn.
Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series que convergensolamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:
Teorema:
Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô.

4.1.2 Serie Finita.
Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término(que no sea el primero)
y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.
La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica.
4.2 Serie numérica yconvergencia. Prueba de razón y raíz.
Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posicionesen la secuencia. Una secuencia es una discreta función.

4.3 Serie de potencias.
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:



Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:



Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo



Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten enseries numéricas convergentes.


4.5 Serie de Taylor.
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función esta dado por:




Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 - xi expresando la serie de Taylor como:



Uso de la expansión en serie de Taylor para aproximar una funcióncon un número infinito de derivadas.

4.6 Representación de funciones mediante serie de Taylor.
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.
Función e
Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor comomás sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada...