Series Convergentes
Páginas: 279 (69654 palabras)
Publicado: 13 de octubre de 2012
SERIES CONVERGENTES
Fernando Mejías
SERIES CONVERGENTES
Copyright © 2011, por Fernando Mejías Todos los derechos reservados
Para mis hermanas y hermanos
A A El manuscrito fue procesado utilizando LTEX2" , es decir, básicamente LTEX A con algunos “macros” especiales de AMS-LTEX. La fuente principal del texto es New Baskerville, una variante moderna (y ligeramente menos estilizada)de la clásica Baskerville, pero para resaltar la naturaleza clásica del material de las traducciones se usa una combinación de Bookman Old Style y Book Antigua. Las fuentes matemáticas principales son Math TÃme Professional II (“lite”) de Publish or Perish, Inc. Cualquier crítica, comentario, sugerencia y/o reporte de errores (de imprenta o de contenido) será apreciado y puede ser enviado al autorvía correo electrónico a la siguiente dirección: fmejias@ula.ve
PREFACIO
ste libro fue concebido originalmente como un (pequeño) manual auxiliar sobre series para estudiantes de Cálculo; posteriormente la idea fue evolucionando y ampliando las perspectivas para ofrecer al lector una visión general sobre el tema y sus relaciones con otros en Análisis.
E
El libro se inicia con uncapítulo introductorio (aunque no prescindible) sobre sucesiones para pasar inmediatamente al estudio de las series propiamente dichas, primero hacia series numéricas y luego series de funciones. En cada capítulo se presentan los conceptos y resultados fundamentales ilustrados con ejemplos de casos particulares. Los teoremas y los ejemplos están enumerados en forma consecutiva. Para enfatizar ladiferencia teórica, el final de la demostración de cada teorema se indica con el “símbolo” , mientras que para los ejemplos se usa un “cuadrado vacío” . Como parte integral del estudio se presentan conjuntos de problemas que permiten al lector poner a prueba la asimilación de cada uno de los contenidos. Casi todos los problemas y los ejemplos son tomados de los excelentes libros Calculus (volumen 1) porT. Apostol y Calculus por M. Spivak, lo cual de alguna forma indica el nivel de dificultad. Algunos problemas están divididos en partes, en algunos casos éstas se señalan con números y en otros con letras del alfabeto latino para indicar que los primeros ponen a prueba la “destreza operatoria” mientras que los segundos son de naturaleza teórica, probablemente de interés para estudiantes deMatemáticas que se preparan para cursar estudios de Análisis Real. En todo caso esta nomenclatura no debe interpretarse como un indicador del nivel de dificultad de los problemas, para lo cual presentamos un sistema de indicaciones con uno y dos asteriscos. En general, el instructor debe hacer una selección adecuada para sus estudiantes. Al final se encuentran las soluciones de algunos de los problemas. Otroaspecto que se debe mencionar es la incorporación de algunas notas históricas que complementan las traducciones de trabajos originales sobre series de Isaac Newton, Leonhard Euler y Neils Henrik Abel. El estudio de este material es altamente recomendado, no solamente por su valor técnico, sino porque ayuda a formar una idea acerca de la evolución del vii
viii Fernando Mejías
concepto de seriedesde los primeros trabajos; después de todo, muchas de las más elaboradas teorías y técnicas matemáticas de la actualidad tienen sus raíces en las obras de estos tres científicos. Estas lecturas están complementadas con una Reseña Bibliográfica que pretende servir de guía al estudiante para profundizar en los temas tratados, buscar problemas y ejercicios adicionales y explorar algunas de lasaplicaciones del tema en otras áreas de las Matemáticas. Para concluir, quiero reconocer el aporte de todas las personas e instituciones que han colaborado para la producción de este libro. Los profesores Roy Quintero, Edgar Rosales y Wilfredo Zuleta del Núcleo Universitario “Rafael Rangel” leyeron una de las primeras versiones e hicieron varias recomendaciones valiosas; algunas conversaciones con...
Fernando Mejías
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Copyright © 2011, por Fernando Mejías Todos los derechos reservados
Para mis hermanas y hermanos
A A El manuscrito fue procesado utilizando LTEX2" , es decir, básicamente LTEX A con algunos “macros” especiales de AMS-LTEX. La fuente principal del texto es New Baskerville, una variante moderna (y ligeramente menos estilizada)de la clásica Baskerville, pero para resaltar la naturaleza clásica del material de las traducciones se usa una combinación de Bookman Old Style y Book Antigua. Las fuentes matemáticas principales son Math TÃme Professional II (“lite”) de Publish or Perish, Inc. Cualquier crítica, comentario, sugerencia y/o reporte de errores (de imprenta o de contenido) será apreciado y puede ser enviado al autorvía correo electrónico a la siguiente dirección: fmejias@ula.ve
PREFACIO
ste libro fue concebido originalmente como un (pequeño) manual auxiliar sobre series para estudiantes de Cálculo; posteriormente la idea fue evolucionando y ampliando las perspectivas para ofrecer al lector una visión general sobre el tema y sus relaciones con otros en Análisis.
E
El libro se inicia con uncapítulo introductorio (aunque no prescindible) sobre sucesiones para pasar inmediatamente al estudio de las series propiamente dichas, primero hacia series numéricas y luego series de funciones. En cada capítulo se presentan los conceptos y resultados fundamentales ilustrados con ejemplos de casos particulares. Los teoremas y los ejemplos están enumerados en forma consecutiva. Para enfatizar ladiferencia teórica, el final de la demostración de cada teorema se indica con el “símbolo” , mientras que para los ejemplos se usa un “cuadrado vacío” . Como parte integral del estudio se presentan conjuntos de problemas que permiten al lector poner a prueba la asimilación de cada uno de los contenidos. Casi todos los problemas y los ejemplos son tomados de los excelentes libros Calculus (volumen 1) porT. Apostol y Calculus por M. Spivak, lo cual de alguna forma indica el nivel de dificultad. Algunos problemas están divididos en partes, en algunos casos éstas se señalan con números y en otros con letras del alfabeto latino para indicar que los primeros ponen a prueba la “destreza operatoria” mientras que los segundos son de naturaleza teórica, probablemente de interés para estudiantes deMatemáticas que se preparan para cursar estudios de Análisis Real. En todo caso esta nomenclatura no debe interpretarse como un indicador del nivel de dificultad de los problemas, para lo cual presentamos un sistema de indicaciones con uno y dos asteriscos. En general, el instructor debe hacer una selección adecuada para sus estudiantes. Al final se encuentran las soluciones de algunos de los problemas. Otroaspecto que se debe mencionar es la incorporación de algunas notas históricas que complementan las traducciones de trabajos originales sobre series de Isaac Newton, Leonhard Euler y Neils Henrik Abel. El estudio de este material es altamente recomendado, no solamente por su valor técnico, sino porque ayuda a formar una idea acerca de la evolución del vii
viii Fernando Mejías
concepto de seriedesde los primeros trabajos; después de todo, muchas de las más elaboradas teorías y técnicas matemáticas de la actualidad tienen sus raíces en las obras de estos tres científicos. Estas lecturas están complementadas con una Reseña Bibliográfica que pretende servir de guía al estudiante para profundizar en los temas tratados, buscar problemas y ejercicios adicionales y explorar algunas de lasaplicaciones del tema en otras áreas de las Matemáticas. Para concluir, quiero reconocer el aporte de todas las personas e instituciones que han colaborado para la producción de este libro. Los profesores Roy Quintero, Edgar Rosales y Wilfredo Zuleta del Núcleo Universitario “Rafael Rangel” leyeron una de las primeras versiones e hicieron varias recomendaciones valiosas; algunas conversaciones con...
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