Series (Cálculo 2)

Páginas: 6 (1334 palabras) Publicado: 10 de noviembre de 2013
Materia: Cálculo 2
Tema: Series

Series
Se le llama serie a la suma de los elementos de una sucesión.
Una sucesión es el conjunto de elementos, uno detrás de él otro el cual lleva un cierto orden. Ejemplo:
2, 4, 6 ,8 ,10
Si una sucesión tiene un último número se dice que esta es finita. Y si esta no tiene un último número se dice que es infinita. Ejemplo:
Sucesión finita: 3, 6, 9, 12Sucesión Infinita: 3, 6, 9, 12...
(los últimos 3 puntos indican que no hay un ultimo número)
Una sucesión infinita es una función la cual su dominio es el conjunto de los números naturales.
{1, 2, 3, 4, 5,...n,...}
Puesto que el dominio de cada función sucesión es el mismo, puede emplearse la notación {f(n)} para denotar una sucesión. También puede ser utilizada la notación de subíndice{an} para expresar una sucesión para la cual f(n) =an.

Si {an} es una sucesión infinita, entonces una expresión de la forma
a1 + a2 + a3 +...+ an ...
se llama una serie infinita o serie. En la notación de suma se denota esta serie ya sea por
n o n
entendiendo que al ultima variable de la suma es n.
Si {un} es una sucesión y
Sn = u1 + u2 + u3 +... +un
entonces {Sn}es una sucesión de sumas parciales denominada por serie infinita y se denota por
n = u1 + u2 + u3 +... +un

Criterios de convergencia y divergencia
Para poder determinar si una serie es convergente o divergente, se usan diversos tipos de criterios dependiendo del tipo de serie
La siguiente tabla muestra algunos de los diferentes criterios que existen para determinar la convergencia odivergencia de los tipos de series también mostradas.
Criterio
Series
Convergencia
Comentario
De divergencia o
del termino enésimo
n
Diverge si n ≠ 0 (o no existe)

Inconclusa si n = 0
Serie geométrica
ⁿ⁻1
*Converge a la suma S = si │r│ < 1

*Diverge si r ≥ 1
Útil para el criterio de comparación si el término enésimo an de un serie es similar a arn-1
Sumas parciales
n
Sea nConverge Si n = S
Diverge Si n no existe

Si
Converge, S es la suma de la serie
Diverge, la serie no tiene suma.
Series - p
p
* Converge si P > 1

*Diverge si p ≤ 1
Útil para el criterio de comparación si el termino enésimo an de una serie es similar a 1/ np
Series telescópicas
n -an+1)
n = L
Suma: a1 -L
Comparación (directa)
n, n
an > 0, bn > 0
y an ≤ bn para toda n* Si n converge entonces n converge.
*Si n diverge entonces n diverge.
La serie n es a menudo una serie geométrica o series -p
Comparación de límites.
n, n
an > 0, bn > 0

Si n/bn = L > 0 (finito) entonces ambos divergen o convergen
Para hallar bn considera solo los
términos de an que tienen el efecto más grande en su magnitud.
Prueba de la Razón.
n
Si n+1/an │ = L entonces la serie*Converge (absolutamente) si L < 1

*Diverge si L > 1 (o ∞)
Inconclusa con L=1 Útil si an envuelve factoriales o potencias enésimas.
Si an > 0 para todo n el signo de valor absoluto puede ser descartado.
Prueba de la raíz
n
Si n│ = L entonces la serie
*Converge (absolutamente) si L < 1

*Diverge si L > 1 ( o ∞)
Inconclusa si L=1
Útil si an envuelve potencias enésimas
Si an > 0 paratodo n el signo de valor absoluto puede ser descartado.
Series alternantes
n an
an > 0
Converge si an ≥ an+1 para todo n y
n = 0
Solamente se aplica a series alternantes
Residuo : │Rn│< an+1
Convergencia absoluta
n│
n

Si n│ converge entonces

n también converge


Útil para series que contienen
términos positivos y negativos
Convergencia
Condicional
n

Si n│ divergeentonces n converge.
Entonces n converge condicionalmente

Aplica a series alternante o que
contiene terminos positivos y
negativos que convergen pero no
convergen absolutamente.





Suma y multiplicación de series.
Suma
Dadas dos series a y b la serie suma de las dos se obtiene sumando los términos correspondientes.
Sea S la serie suma de las series a y b, sus términos serían:
a1 +...
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