Series de calculo diferencial

INDICE
INTRODUCCION…………………………………………………………………………………1

DEFINICION DE SERIE .......................................................................................................2
SERIE DE POTENCIAS………………………………………………………………………………............4

RADIO DE CONVERGENCIAS………………………………………………………………………………10

SERIE DE TAYLOR……………………………………………………………………………………………11

REPRESENTACION DE FUNCIONES MENDIANTELA SERIE DE TAYLOR……………………………………………………………………………………………16

CONCLUCION…………………………………………………………………………………….18

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................... 19

INTRODUCCION
A continuación les daré una breve introducción al cálculo integral en especial a las series que nos sirven para hacer suma de los términos deuna sucesión. Se representa una serie con términos, mas que nada las series en calculo nos ayudan a encontrar funciones derivables ya sea finitas o infinitas para encontrar si una grafica diverge o converge, estos se ocupa más en las ingenierías para medir áreas bajo la curva etc.…
Esto es la aplicación de uno de los temas como lo es la serie de Taylor que sirve para la aplicación de utilizarfunciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.
Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntosestacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.

DEFINICION DE SERIE
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie contérminos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algún .

• Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando elanterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

• La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.
• Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

• Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguientemanera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

• Una serie hipergeométrica1 es una serie de la forma , que cumple que = .
Sumas conocidas




SERIE DE POTENCIAS
Definición 5.1 La sucesión de números complejos {zn}∞n=0 tiene un lımite o converge a un numero complejo z, si para todo ε > 0 existe un numero entero positivo N tal que

|zn −z| < ε siempre que n > N.

Cuando el lımite de la sucesión {zn }∞n=0 existe, es decir, que {zn }∞n=0 converge a z, se escribe

lim zn = z.

n→∞

Si la sucesión no tiene lımite diverge.

Teorema 5.1 Sean zen = xn + iyn (n = 0, 1, 2, . . . ), para xn y yn números reales, y z = x + iy
Para x y y números reales. Entonces, limzen = z si, y solo si lim xn = x y lim yn = y.

n→∞ n→∞ n→∞

Ejemplo 5.1 Determinar si la sucesión
₃ ₃
zen = 1 + i 1 + (−1)n (n = 1, 2, 3, . . . )
n n

Converge y halle el límite si es el caso.

Solución. Se tiene que zen = xn + iyn, donde

xn = 1 , yn = 1 + (−1)n .
n n

Ahora,
lim xn = 0 y lim yn = 1....