Series de fourier demostración matemática

CENTRO DE ENSEÑANZA TECNICA INDUSTRIAL
Electrónica III

Series de Fourier

Demostración matemática de un ejercicio numérico









Alumno: Andrea Alejandra Hernándezdel Rio
Registro: 631012
Aula: L202


22/08/10


Series de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica.
Las seriesde Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
Definición
Si es una función (o señal) periódica y su período es T, la serie deFourier asociada a es:

Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:



Actividad:
-Comprobar el resultado del coeficiente an del ejemplo numérico que se muestra acontinuación, mediante una demostración matemática.
- Demostrar matemáticamente por que no hay bn en el siguiente ejemplo numérico.







Ejemplo numérico

T = 0.4 s; f0 = 2.5 Hz; w0 = 2π f0 = 5π rad/s
Vmcos 5πt -0.1 < t <0.1
v(t) = 0 0.1 < t <0.3


Analisis de Fourier
ft=a0+n=1∞ancosnw0t+bnsinnw0ta0: Vm/π
an:
an = 2T0TftCos nw0t dt
an = 2Vm0.4-0.10.1Cos 5πt*Cos 5πnt dt
Pero utilizando la identidad trigonométrica:
cosαcosβ=12cosα+β+ 12cosα-β
an = 5Vm -0.1 o.1 cos⁡(5πt)Cos 5πntdtan = 5Vm -0.10.1[12 cos (5πt+5πnt)+ 12 cos ((5πt-5πnt)]dt
an = 5Vm -0.10.112 [cos 5π1+nt+ cos 5π1-nt]dt
an = 52Vm -0.10.1 [cos 5π1+nt+ cos 5π1-nt]dt
an = 52Vm (-0.10.1 cos 5π1+nt.dt+-0.10.1cos 5π1-nt.d

an = 52Vm (sen 5π1+nt5π1+n ) + 52Vm (sen 5π1-nt5π1-n )

an =


an = 52 Vm (

+


an = 5/2 Vm ( 2 senπ2 ( 1+n)5π(1+n) ) + 5/2 Vm(2 senπ2(1-n)5π(1-n) )

an = Vm ( senπ2(1+n)π (1+n) ) + Vm ( senπ2( 1-n)π(1-n) )

an = Vm [1-n.senπ21+n+ 1+nsenπ2(1-n)π1+n(1-n) ]

an =Vm π(1-n2 ) [(1-n) sen π21+n+ 1+nsenπ21-n ]...