SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETOOOOOOOOOOOOOOOOOO88888
Páginas: 6 (1353 palabras)
Publicado: 20 de septiembre de 2015
SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
OBJETIVO
Analizar la definición, deducción y propiedades de la series Fourier en Tiempo Discreto (SFTD), a través de propiedades matemáticas y gráficos de las señales en tiempo discreto para aplicarlas en la resolución de ejercicios.
MARCO TEORICO
DESARROLLO MATEMATICO
A continuación se investigará la aplicabilidad de la serie de Fourier en el análisis deseñales y sistemas en TD. Las mismas ventajas de expresar una señal como una combinación lineal de senoides complejas se aplica al análisis de señales en TD.
Una señal x[n] en TD puede representarse para un intervalo de tiempo discreto finito para un intervalo: n0≤n
La primera diferencia que debe notarse entre los casos de TD y en TC es que la sumatoria en tiempo discreto nonecesita ir hasta infinito, esto se debe a que n y k son enteros y:
Y puesto que FF=1/NF
Cualquier conjunto de numero de k, que abarque el intervalo k0≤k
Es la sumatoria de cualquier intervalo de numero k consecutivos Y
Multiplicando ambos lados
Invirtiendo el orden de la sumatoria
El intervaloangular entre senoides complejas es la fracción (k-q)/NF
Cuando graficamos todas la senoides podemos observar que la sumatoria de todas las senoides es cero.Se cuenta con un procedimiento analítico para este resultado que utiliza una formula muy útil, para la sumatoria de una serie geométrica finita
Aplicando a la formula y haciendo un cambio de variable a m=n-n0
Y como k-q es un entero
En el caso de k=q la serie sesimplifica
Y resolviendo para X[q], se tiene:
La representación original de la SFTD de una señal en TD es
La Representación de la SFTD de una señal x[n] es periódica con periodo fundamental NF.
La representación de la SFTD de una señal XF[n] es periódica en tiempo discreto con periodo fundamental NF. En el caso más común en el que se representa una señal periódica x[n] paraexactamente un periodo fundamental N0,x[k] y X[k] son periódicas con periodo fundamental N0.
Si se conocen un conjunto de N0 número y los valores de la X[k],es posible reconstruir la señal completa utilizando la relación.
Ejemplo:
DETERMINE ARMONICA DE LA SERIE DE STFD DE LA SEÑAL TD x[n]=rect2[n]*comb8[n] para exactamente un periodo fundamental :
El intervalo de la sumatoria puede sercualquiera de m ≤n< m+8, donde m es cualquier entero.
Se puede determinar la función dejando que k ,sea cada uno de los enteros en el intervalo de q ≤k< q+8donde q es cualquier entero ,uno a la vez, y sumando los términos en la sumatoria para cada k.
PROPIEDADES DE LA SERIE DE FOURIER
Es posible encontrar la función armónica de la SFTD para estas dos señales dado su periodo fundamental.
La funciónarmónica SFTD se encuentra a partir de las siguientes relaciones de transformación.
LINEALIDAD
Esta propiedad es idéntica a la de linealidad en SFTC y la demostración es similar.
Sea si entonces la función armonica de la serie de Fourier en tiempo discreto de :
DESPLAZAMIENTO EN FRECUENCIA
Esta propiedad es similar a la que correspondió a las funciones en TC y la prueba es similar
Seadonde es un entero y entonces
Sea
Esta propiedad comúnmente se denomina de desplazamiento en frecuencia aunque debe llamarse con mayor precisión la propiedad de desplazamiento de un entero armónico puesto que k es el número armónico. Sin embargo puesto que el producto de numero de armónicos y de frecuencia fundamental es frecuencia.
CONJUGACIÓN
Esta propiedad es similar a la de las...
OBJETIVO
Analizar la definición, deducción y propiedades de la series Fourier en Tiempo Discreto (SFTD), a través de propiedades matemáticas y gráficos de las señales en tiempo discreto para aplicarlas en la resolución de ejercicios.
MARCO TEORICO
DESARROLLO MATEMATICO
A continuación se investigará la aplicabilidad de la serie de Fourier en el análisis deseñales y sistemas en TD. Las mismas ventajas de expresar una señal como una combinación lineal de senoides complejas se aplica al análisis de señales en TD.
Una señal x[n] en TD puede representarse para un intervalo de tiempo discreto finito para un intervalo: n0≤n
La primera diferencia que debe notarse entre los casos de TD y en TC es que la sumatoria en tiempo discreto nonecesita ir hasta infinito, esto se debe a que n y k son enteros y:
Y puesto que FF=1/NF
Cualquier conjunto de numero de k, que abarque el intervalo k0≤k
Es la sumatoria de cualquier intervalo de numero k consecutivos Y
Multiplicando ambos lados
Invirtiendo el orden de la sumatoria
El intervaloangular entre senoides complejas es la fracción (k-q)/NF
Cuando graficamos todas la senoides podemos observar que la sumatoria de todas las senoides es cero.Se cuenta con un procedimiento analítico para este resultado que utiliza una formula muy útil, para la sumatoria de una serie geométrica finita
Aplicando a la formula y haciendo un cambio de variable a m=n-n0
Y como k-q es un entero
En el caso de k=q la serie sesimplifica
Y resolviendo para X[q], se tiene:
La representación original de la SFTD de una señal en TD es
La Representación de la SFTD de una señal x[n] es periódica con periodo fundamental NF.
La representación de la SFTD de una señal XF[n] es periódica en tiempo discreto con periodo fundamental NF. En el caso más común en el que se representa una señal periódica x[n] paraexactamente un periodo fundamental N0,x[k] y X[k] son periódicas con periodo fundamental N0.
Si se conocen un conjunto de N0 número y los valores de la X[k],es posible reconstruir la señal completa utilizando la relación.
Ejemplo:
DETERMINE ARMONICA DE LA SERIE DE STFD DE LA SEÑAL TD x[n]=rect2[n]*comb8[n] para exactamente un periodo fundamental :
El intervalo de la sumatoria puede sercualquiera de m ≤n< m+8, donde m es cualquier entero.
Se puede determinar la función dejando que k ,sea cada uno de los enteros en el intervalo de q ≤k< q+8donde q es cualquier entero ,uno a la vez, y sumando los términos en la sumatoria para cada k.
PROPIEDADES DE LA SERIE DE FOURIER
Es posible encontrar la función armónica de la SFTD para estas dos señales dado su periodo fundamental.
La funciónarmónica SFTD se encuentra a partir de las siguientes relaciones de transformación.
LINEALIDAD
Esta propiedad es idéntica a la de linealidad en SFTC y la demostración es similar.
Sea si entonces la función armonica de la serie de Fourier en tiempo discreto de :
DESPLAZAMIENTO EN FRECUENCIA
Esta propiedad es similar a la que correspondió a las funciones en TC y la prueba es similar
Seadonde es un entero y entonces
Sea
Esta propiedad comúnmente se denomina de desplazamiento en frecuencia aunque debe llamarse con mayor precisión la propiedad de desplazamiento de un entero armónico puesto que k es el número armónico. Sin embargo puesto que el producto de numero de armónicos y de frecuencia fundamental es frecuencia.
CONJUGACIÓN
Esta propiedad es similar a la de las...
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