Series De Fourier Y Fenomeno De Gibbs

SERIE DE FOURIER Y FENOMENO DE GIBBS

Resumen- en este documento se presenta un informe sobre la utilidad de la serie y la transformada de Fourier para el tratamiento de señales en el área de las comunicaciones, y como se puede observar esto con gran facilidad por medio de un software libre como scilab.
Índice de términos- serie de Fourier, transformada de Fourier, fenómeno de gibbs, funciónde muestreo, scilab.
I. INTRODUCCION
Serie de Fourier: por medio de este método se puede expresar cualquier señal periódica como una suma de senos y cosenos, ft=12ao+n=1∞ancosnwt+bnsin(nwt), posteriormente empleando algunos métodos matemáticos podemos llegar a la siguiente expresión: ft=Co+1∞CncosnWot-θn , desarrollando esta fórmula podemos obtener Co=ao, Cn=a2+b2, sinθ=ana2+b2,cosθ=bna2+b2, θn=-tan-1ba.
Para expresar una función como la serie de Fourier evaluamos los coeficientes de la siguiente manera: ao=1T0Tftdt+ an=2T0TftcosnWotdt + bn=2TftsinnWotdt.
Este análisis lo podemos realizar mediante un software matemático, en este caso utilizaremos el software scilab, por medio de este podremos analizar detalladamente los fenómenos en el tratamiento deseñales.
Fenómeno de gibbs: es la suma de los armónicos de la serie de Fourier para llegar a una aproximación de la señal original.
Función de muestreo Mu(x): es también conocida como un seno c, y se expresa de la siguiente manera:
Mux=sin⁡(x)x

1. SERIE DE FOURIER

ONDA CUADRADA
T=%pi/2; //Periodo
W=(2*%pi/T); //frecuencia angular de la señal

///////coeficiente aoao=[(1/T)*(integrate('1*t','t',0,%pi/2))]

////coeficiente an
function y=f(t),y=t*cos(W*t), //crea una función definida
endfunction
an=[(2/T)*(intg(0,%pi/2,f))] //integra por partes respecto a t

////coeficiente bn
function y=f(t),y=t*sin(W*t), //crea una función definida
endfunction
bn=[(2/T)*(intg(0,%pi/2,f))] //integra por partes respecto a t

ar=40; //cantidad detérminos
n=1000;
ini=0;
fin=2*%pi;
inte=(fin-ini)/n;
t=[ini:inte:fin];

//genera los armónicos
for i= 1:ar,
for j = 1:n+1,
f1(j,i)=((1/2)*ao)+bn*((1/(2*i-1)).*(sin((2*i-1).*t(j)))); //sumatoria de senos
end;
end;
scf;
plot2d(t,f1)
xgrid(3) //muestra una malla en la grafica de color 3
a=gca(); //permite hacer cambios en el editor graficoxtitle("ARMONICAS","eje x","eje y") //titulo

//genera la suma de los armónicos
s=0;
for i= 1:ar,
f2=((1/2)*ao)+bn*((1/(2*i-1)).*(sin((2*i-1).*t))); //sumatoria
s=s+f2;
end;
scf;
plot2d(t,s,[2])
xgrid(2) //muestra una malla en la grafica de color 2
a=gca(); //permite hacer cambios en el editor grafico
xtitle("SUMA DE LAS ARM´ONICAS","eje x","eje y") //tituloGENERACION DE 40 ARMONICOS

FENOMENO DE GIBBS CON LOS 40 ARMONICOS

Para el mismo ejercicio ahora aumentamos el periodo al doble (de pi/2 a pi)

GENERACION DE ARMONICOS

FENOMENO DE GIBBS

Para el mismo ejercicio disminuimos el periodo a la mitad (de pi/2 a pi/4)

GENERACION DE LOS ARMONICOS

FENOMENO DE GIBBS

Para el mismo ejercicio disminuimos el número de armónicos a lamitad (de 40 a 20)

GENERACION DE ARMONICOS

FENOMENO DE GIBBS

Para el mismo ejercicio aumentamos el número de armónicos al doble (de 40 a 80)

GENERACION DE ARMONICOS

FENOMENO DE GIBBS

ONDA DIENTE DE SIERRA

clear
A=2;
T=%pi/2; //Periodo
d=A/T; //función de diente de sierra
W=(2*%pi/T); //frecuencia angular de la señal
function y=f(t),y=t*exp(-W*t),//crea un función definida
endfunction
cn=[%i*(1/T)*d*(intg(0,%pi/2,f))] //integra por partes respecto a t

//////////////////////////
ar=40; //cantidad de términos
n=1000;
ini=0;
fin=%pi;
inte=(fin-ini)/n;
t=[ini:inte:fin];

//genera los armónicos
for i= 1:ar,
for j = 1:n+1,
f1(j,i)=((1))-((1/(%pi)).*((1/(i)).*(sin((W*i).*t(j)))));//matriz de senos
end;
end;...