Series de fourier

INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO

MATERIA: MATEMATICAS IV

TRABAJO: UNIDADES V Y VI

PROFESOR: ING. RICARDO CABRERA MARTINEZ

ALUMNO: VÍCTOR LUIS GARZA HERRERA

Nº 06041275

FECHA DE ENTREGA: 16/DICIEMBRE/2010


UNIDAD 5 SERIES DE FOURIER
Las series de Fourier tienen la forma:

5.1 FUNCIONES ORTOGONALES
Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional.El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u.v, posee las propiedades siguientes:
i) (u, v) = (v, u)
ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar
iii) (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u) > 0 si u ≠ 0
iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w).
Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades.

Definición de roducto interno
Elproducto interno de dos funciones ƒ1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el número

DEFINICION Funciones ortogonales
Dos funciones ƒ1 y ƒ2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si

EJEMPLO 1 Funciones ortogonales
Las funciones ƒ1 (x) = x2 y  ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [1, 1] porque

5.2 Conjuntos Ortogonalesy Conjuntos Ortonormales
Sean  (x) y (x) dos funciones reales queestán definidas en un intervalo
a ≤ x ≤ b, de tal manera que la integral de el producto (x) (x) existe en el intervalo. Denotaremos esta integral por
(,). Entonces:
| (1) |
Se dice que las funciones
y 
son ortogonales en el intervalo

a ≤ x ≤ b si

Un conjunto de funciones reales (x), (x), (x), ... es llamado conjunto ortogonal de funciones en el intervalo a ≤ x ≤ b si todas estándefinidas en el intervalo y si todas las integrales (,)existen y son cero para todos los pares distintos de funciones.   
La raíz cuadrada de (,)es llamada norma de y es generalmente denotada por || || ; entonces
| (2) |
Es claro que, un conjunto ortogonal (x), (x), (x), ... en el intervalo      a ≤ x ≤ b cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la condición

 Dicho conjunto es llamado conjuntoortonormal de funciones en el intervalo a ≤ x ≤ b .
Obviamente, de un conjunto ortogonal podemos obtener un conjunto ortonormal dividiendo cada función entre su norma.

5.3 Definicion Serie De Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourierempleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales seriessistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión dedatos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.

5.4 Convergencia Serie De Fourier
CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER

Al igual que la serie de Taylor, la seriede Fourier depende de ciertos valores de la variable independiente x, para que converja o no. En esta sección, veremos condiciones sobre   para saber a qué converge su serie de Fourier.

Definición.   (Función continua por partes)
Decimos que una función
es contínua por partes en el intervalo
si:
i)
está definida y es contínua en
, excepto quizás en un número finito de puntos.
ii)
y...