Series de Fourier

Series de Fourier
´
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. Estas surgieron hist´ricamente
o
al resolver por el m´todo de separaci´n de variables un problema de contorno de ecuaciones
e
o
en derivadas parciales.
Cuando estas f´rmulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos
o
matem´ticos pensaron que era imposible expresar una funci´n f (x)cualquiera como suma
a
o
de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg´ de recopilar datos
o
para convencer al mundo cient´
ıfico de tal posibilidad.

7.1

Series de Fourier

Definici´n 7.1 (Serie de Fourier)
o
Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [−π, π ] a:
o
f (x) =

∞
a0
+
(an cos nx + bn sen nx)
2
n=1

(∗)

A loscoeficientes a0 , a1 , · · · , an , b0 , b1 , · · · , bn se les llama coeficientes de Fourier de
f(x) en [−π, π ].
Debido a que
π
−π

sen mx sen nx dx =

0
=0

π

si n = m
si n = m

−π

1

cos nx dx = 0

π
−π

sen nx dx = 0

2

Tema 7. Series de Fourier
π

−π

0
=0

cos mx cos nx dx =

π

si n = m
si n = m

−π

sen mx cos nx dx = 0

e integrando t´rmino at´rmino en la igualdad (∗) obtenemos:
e
e
π
−π
π
−π
π
−π

f (x) cos nx dx = an
f (x) dx =

π
−π

cos2 x dx = an π ⇒ an =

a0
1
2π ⇒ a0 =
2
π

f (x) sen nx dx = bn

π
−π

π
−π

1
π

π
−π

f (x) cos nx dx

f (x) dx

sen2 x dx = bn π ⇒ bn =

1
π

π
−π

f (x) sen nx dx

Las anteriores propiedades de las funciones sen nx, cos mx se pueden resumir en que
elsistema
{1, sen x, sen 2x, · · · , cos x, cos 2x · · ·}
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
π
(f (x), g (x)) =
f (x)g (x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresi´n de un
o
−π

vector f (x) como combinaci´n lineal de los vectores de la anterior base ortogonal.
o
o
Definici´n 7.2 Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [−L, L]o
a:
∞
a0
nπ
nπ
f (x) ∼
+
x + bn sen
x
an cos
2
L
L
n=1
donde
bn =

a0 =
1
L

L
−L

1
L

L
−L

f (x) dx

f (x) sen

an =

1
L

L
−L

f (x) cos

nπ
x dx
L

nπ
x dx
L

Este hecho se basa en que el sistema de vectores
2πx
πx
2πx
πx
, sen
, · · · , cos
, cos
,···
L
L
L
L
es un sistema ortogonal de funciones respecto del productoescalar
1, sen

(f (x), g (x)) =

L
−L

f (x)g (x) dx

An´logamente se puede definir la serie de Fourier de una funci´n f (x) definida en un
a
o
a+b
al origen.
intervalo [a, b] haciendo una traslaci´n del punto medio
o
2

3

7.1. Series de Fourier

Tomo L = b −

a+b
b−a
=
2
2

−L=a−

a+b
a−b
=
2
2

Definici´n 7.3 Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en elintervalo [a, b] a
o
o
∞
nπ
a0
nπ
f (x) =
+
an cos b−a x + bn sen b−a x
2
n=1
2
2

donde
bn =

2
b−a

a0 =
2
b−a

b
a

b
a

f (x) dx

f (x) sen

an =

2
b−a

b
a

f (x) cos

2nπ
x dx
b−a

2nπ
x dx
b−a

Las series anteriores tambi´n se podr´ haber escrito de la forma:
e
ıan
∞

f (x) ∼ C0 +

Cn cos(nω0 t − θn )
n=1

donde

Cn =

senθn =

a2 + b2 ,
n
n
bn
a2 + b2
n
n

siendo ω0 = 1,

cos θn =

θn = arctang

an
a2 + b2
n
n
bn
an

π 2π
,
seg´n hayamos utilizado una de las tres f´rmulas anteriores.
u
o
L b−a

La componente sinusoidal de frecuencia ωn = nω0 se denomina la en´sima arm´nica
e
o
de la funci´n peri´dica. La primera arm´nica se conoce comunmente con el nombre de
o
o
o
2π
fundamentalporque tiene el mismo periodo que la funci´n y ω0 =
o
se conoce con
T
el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ´ngulos θn se
a
conocen como amplitudes arm´nicas y ´ngulos de fase, respectivamente. En M´sica, a la
o
a
u
primera arm´nica, segunda arm´nica, etc. se le suele llamar fundamental, primer tono,
o
o
segundo tono, etc.
Quedan muchas...