Series de fourier

SERIE DE FOURIER
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (comocombinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iníciales en 1807 y 1811.
Se llama serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo [-,] a:

A los coeficientesa0, a1,…., an, b0,b1,….,b n ,se les llama coeficiente de Fourier de f(x) en [-,].
APLICACIONES
La asombrosa variedad de las aplicaciones de las series de Fourier se pone de manifiesto en diversas ramas de la matemática y de la física matemática, desde teoría de números y geometría hasta mecánica cuántica. En esta sección presentamos algunas de las más importantes aplicaciones del análisis deFourier. Comenzamos dando una hermosa y elegante solución al que demostró ser uno de los más complejos problemas de la geometría plana: el famoso problema isoperimétrico.
Onda cuadrada de alta frecuencia.
Una aplicación simple de la Serie de Fourier la podemos encontrar en el análisis de circuitos electrónicos que son diseñados para manejar pulsos variables agudos, tales como, una ondacuadrada o un “diente de sierra”. Supongamos que una onda cuadrada esta definida por la función:

A partir de la definición, de los coeficientes podemos encontrar:





Luego la serie resultante es:

Es importante decir que el primer termino representa el promedio de sobre el intervalo y que todos los términos en base coseno se anulan. Además es una función impar, luego, tenemosuna serie de Fourier solo con base seno. Por otra parte, los coeficientes decrecen inversamente proporcional con . Físicamente esto significa que la onda cuadrada debe contener muchos componentes de alta frecuencia. Si el aparato electrónico no deja pasar estos componentes, la onda cuadrada resultante emerge más o menos redondeada.
Rectificador de onda completa
Consideremos ahora la salida deun rectificador de onda completa, que produce corriente continua pulsante. El rectificador se puede modelar como un dispositivo que alimenta con una onda senoidal, que deja pasar los pulsos positivos, e invierte los pulsos negativos. Esto produce:

Puesto que es una función par, es decir , la serie de Fourier será cosenoidal





Por lo tanto, la serie resultante es:

Lafrecuencia de oscilación mas baja es . Las componentes de alta frecuencia decaen inversamente con , lo que muestra que el rectificador de onda completa hace un buen trabajo para producir un modelo aproximado de corriente continua.

ECUACUIONES DIFERENCIALES
La ecuación constituida en (1) se llama ecuación diferencial. Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más variablesdependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial (ED).
Para referirse a ellas, se clasifican a las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad.
APLICACIONES
Diseminación de una enfermedad
Cuando se analiza la diseminación de una enfermedad contagiosa (gripe, por ejemplo), es razonable suponer que la tasa o razón con que se difunde no solo esproporcional a la cantidad de personas, , que la han contraído en el momento , sino también a la cantidad de sujetos, , que no han sido expuestos todavía al contagio. Si la tasa es , entonces
(8)
Donde es la acostumbrada constante de proporcionalidad. Si, por ejemplo, se introduce una persona infectada en una población constante de personas, entonces y se relacionan...