Series de fourier

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.

CALCULO AVANZADO:

SERIES DE FOURIER:

Ejercicios resueltos y propuestos.
Prof. Jorge Inostroza L.

1.- Hallar el período de la función: f ( x) Solución:

Sen(

2 )x . b a

Si Sen(

2 )x b a 2 )x b a

Sen u

Sen u Sen(u 2 ) Si T es el período 2 x b a 2 T) b a

Sen(

Sen(

2 ( x T ))b a 2 Sen( a bien T

Sen(

Sen(u

2 )

2 T b a Por ejemplo si f ( x)

(b a) el período buscado.
Sen

3 ) x y como f ( x) 5

10 2 . el período será 10 3 3 p .

2.- Probar que si f (x) ,tiene período p; f ( x) tiene período Solución:

f ( x)

f ( ( x T ))

f( x

p)

T

pó T

p

. (Basta cambiar por 1 ).Entonces

x Del mismo modo entonces f ( ) tendrá período T elperíodo de Sen 2 x será T b a 2

p

b a o sea b-a. 2

1

Y el período de Cos

x l

será

2 l

2l .

3.- Pruebe que la función :

f ( x)
Solución.

Sen x

1 Sen 3x 3

1 Sen 5 x , es de período 6 5

Sen x , tiene periodo 2k1 2k 2 Sen 3x “ “ 3 2k 3 Sen 5 x “ “ haciendo k1 5 Y por lo tanto la función dada.

3 k2

9 y k3

15 cada una será de período 6 .

4.- Pruebela ortogonalidad de la base: Solución:
1 Coskx 1 Senkx Coskxdx Senkxdx 0 0

1; Cosx; Senx;.....................Coskx; Senkx...............

Cos nx Sen mx Cos nx Cos mx Sen nx Sen mx

Cosnx Sen mxdx Cos nx Cos mxdx Sen nx Sen mxdx

........ ....... ........

0 0 0.

5.- Si la función : f (t ) m enteros tal : n Solución.

Cos t Cos t es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n

2Cos t Cos t

Cos (t Cos (t

p) p)

p p

2m 2n . Luego el cuociente
m . n

6.- Pruebe que la función f (t ) Solución.

Cos (10t ) Cos (10

)t , no es periódica.

Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos:

10 10 esto no es posible pues el primer miembro es un entero .

m n

10(m n)

7.- Pruebe que la función : f (t ) 10 2 Cos 2 t , es de período Solución.

.1 Cos 2t 1 f (t ) 10 2 ( ) = 50(1 Cos 2t ) , Como Cos 2t tiene período 2 , la función lo es. 2 2

8.- Encontrar el período de la función: f (t ) Solución.

Cos

t t Cos . 3 4

Cos

t 3 t Cos 4

es de período 6 es de período 8 , luego ambas lo son de período 24

9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:

0 f ( x) 0 /2 0

x

0

x /2 /2 x

3

Solución.Los coeficientes serán: a 0
ak 1 f ( x)Coskxdx 1

1
/2

f ( x)dx = Coskxdx

1

/2

2 ..........

dx =……….=

4

.

0

2

1 Senk = 2k 2

bk

1

f ( x) Senkxdx

1

/2

0

2

Senkxdx

1 ........k impar 2k 1 1 .......... (1 Cosk ) = ......k 2,6,10,14... k 2k 2 0 .......k 4,8,12,16

10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función: f ( x) Solución.

x......x..............0

x x

0

Como lo muestra el gráfico es una función par luego su Serie será : a0 2 a k Coskx , con a 0
1

2
0

xdx

ak

2
0

xCoskxdx

1 ........ 2 (Cosk k

1)

0........k par 2 ....k impar 2 k

La S de F será:

2

2
1

Cos (2k 1) x (2k 1) 2

11.- Si f(x) = Cos ( Serie de Fourier.

x ),

x

;

una constante no entera. Probar que a partirde su

Sen

2 (

1 2
2

1
2

1 1
2

1 2
2 2

32

............)

4

Solución.

Se trata de una función par ,luego bk
ak 2
0

0y

a0

1

Cos
k)x

xdx
dx

2

Sen

Cos

x Cos kxdx =

1
0

Cos (

k ) x Cos (

ak

1 Sen( k

k)x

Sen( k

k)x
0

1 Sen(

k) k
k

Sen(

k) k

ak

1 Sen

Cosk k
k

Sen

Cosk k

=

1 Sen1 k

1 k

ak

2
2

1 k2

Sen

.

Luego la representación quedará:
Cos x Sen
1

2 ( 1) k Sen ( 2 k2) ( 1) k . ( 2 k2)

Sen

1

2

( 1) k Coskx ; si x = 0 ( 2 k2)

Sen

2

1 2
2

12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función

f ( x)

0 x

x 0 x

0
2

Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que:...