series de fourier

SERIES INTEGRALES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER
Las series de Fourier son series de términos de coseno y seno y surgen en la importante tarea de práctica de representar funciones periódicas generales. Construyen una herramienta muy importante en la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
Las series de Fourier son más universales que las seriesde Taylor ya que muchas funciones periódicas discontinuas de interés practico pueden desarrollarse en series de Fourier pero desde luego no tienen presentación sin la serie de Taylor.
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) físico y matemático francés, vivió y enseño en parís, acompaño a Napoleón a Egipto y más tarde fue prefecto de Grenoble. Utilizo series de Fourier como su obra principal.Theorie analytique de la chale ur (Teoría analítica del calor, parís 1822) en la que desarrollo la teoría de la conducción del calor.
Comenzando con la teoría de las funciones se dice que una función f(x) es periódica si está definida para todo x y existe algún numero positivo p tal que:
f(x + p)=f(x)
A este número p se le llama periodo de f(x). La gráfica de la función se obtiene por repeticiónperiódica de su grafica en cualquier intervalo de longitud p. los fenómenos de las funciones periódicas se presentan en muchas aplicaciones.
Funciones periódicas conocidas como seno y coseno y se hacen notar que la función f-c-const es también función periódica en el sentido de la definición ya que satisface (1) para toda p positiva.
Las funciones periódicas se presentan en problemas prácticoscon frecuencia son bastantes complicados y es deseable representarlas en términos de funciones periódicas simples. Se verá que casi cualquier función periódica f(x) da periodo 2xque aparezca en las aplicaciones.

Series de Fourier
Las series de Fourier surgen de la tarea practica de representar una función periódica f(x) dada en términos de funciones seno y coseno. Estas series sontrigonométricas cuyos coeficientes se determinan a partir de f(x) mediante ciertas formulas. A continuación se muestran las fórmulas de Euler las cuales se establecieran primero y después se considera como la teoría de las series de Fourier.
1.- se supone que f(x) es una función periódica de periodo 2π que se puede representar con la siguiente formula trigonométrica.
f(x)=a_0+∑_(n=1)^∞▒(a_n cos⁡nx+b_n sennx)
2.-〖 a〗_0=1/2π ∫_(-π)^π▒〖f(x)dx〗
Se denotaran a_1 , a_2….por un procedimiento similar. Se multiplica 1 por mx donde m es cualquier entero positivo fijo, y se integra de –π a π.
3.- ππf(x) cos⁡〖 mx 〗 dx=∫_(-π)^π▒[ a_0+∑_(n=1)^∞▒(a_n cos⁡nx+b_n sen⁡〖nx]cos⁡〖mx dx〗 〗 )
4.-〖 a〗_n=1/n ∫_(-π)^π▒〖f(x) cos⁡〖mx dx〗 〗
5.- Por último se determinan b_1 , b_2….en (1) . si semultiplica (1) por sen mx donde m es cualquier numero positivo fijo y después se integra -π π y se tiene
∫_(-π)^π▒〖f(x) sen⁡〖mx dx=〗 〗 ∫_(-π)^π▒[ a_0+∑_(n=1)^∞▒(a_n cos⁡nx+b_n sen⁡〖nx]sen⁡〖mx dx〗 〗 )
6- al escribir n en lugar de m, se obtienen las llamadas fórmulas de Euler.
〖 a〗_0=1/2π ∫_(-π)^π▒〖f(x)dx 〗
〖 a〗_n=1/π ∫_(-π)^π▒〖f(x) cos⁡〖nx dx〗 〗
〖 b〗_n=1/2π∫_(-π)^π▒〖f(x)sen nx dx 〗

Ortogonalidad del sistema trigonométrico
El sistema trigonométrico.
Cos x, sem x, cos 2x, sen 2x, cos nx, sen nx.
Es ortogonal en el intervalo -π≤x≤πy en consecuencia cualquier intervalo de longitud 2x, debido a la periodicidad. Por definición, esto significa que la integral del producto de cualquiera de las dos funciones diferentes sobre dicho intervalo es cero.

Convergencia y suma deserie de Fourier
Suponer que f(x)es cualquier función periódica dada de periodo 2π existen las integrales de 6 por ejemplo f(x) es continua salvo por un numero finito de saltos en el intervalo de función. La clase de las funciones que pueden representarse por series de Fourier es bastantemente grande. Las condiciones suficientes correspondientes que abarcan casi cualquier aplicación...